Question

18．一列汽車車隊以V₁=10m/s的速度勻速行駛，相鄰車間距為25m，后面有一輛摩托車以V₂=20m/s的速度同向行駛，當它與車隊最后一輛車相距S₀=25m時剎車，以a=0.5m/s²的加速度做勻減速直線運動，摩托車從車隊旁邊行駛而過，設車隊車輛數n足夠多，問：
（1）摩托車從開始剎車經過多長時間能第一次追上汽車車隊的最后一輛車？
（2）摩托車最多與幾輛汽車相遇？摩托車與車隊中汽車共相遇幾次？
（3）摩托車從趕上車隊到離開車隊，共經歷多少時間？

Answer 1

分析 （1）根據勻變速直線運動的位移公式和勻速直線運動位移公式分別表示出摩托車的位移和最后一輛汽車的位移，
結合二者位移關系求出摩托車開始剎車追上最后一輛汽車的時間；
（2）由速度公式求出當摩托車速度減為10m/s時所用的時間，由速度位移公式分別求出此過程汽車和摩托車的位移，
進而得到摩托車與最后一輛汽車的距離，又知道相鄰車間距，進而求出摩托車相遇的汽車數以及摩托車與車隊中汽車共相遇的次數；
（3）由（1）可知摩托車追上汽車車隊最后一輛車所用的時間和汽車車隊最后一輛車超過摩托車的所用的時間，
二者之差即為摩托車從趕上車隊到離開車隊共經歷的時間．

解答 解：（1）設摩托車從開始剎車到追上汽車車隊的最后一輛汽車所用的時間為t，
摩托車的位移：x_摩=v₂t-$\frac{1}{2}$at²，
最后一輛汽車的位移：x_汽=v₁t，
則兩車位移關系滿足：x_摩=x_汽+s₀，
即：v₂t-$\frac{1}{2}$at²=v₁t+s₀，
代入數據得，20×t₁-$\frac{1}{2}$×0.5×${t}_{1}^{2}$=10×t₁+25，
解得：t₁=（20-10$\sqrt{3}$）s；t₂=（20+10$\sqrt{3}$）s；
若t₂=（20+10$\sqrt{3}$）s，
則由v=v₀-at得，摩托車追上最后一輛汽車的速度：
${v}_{2}^{′}$=v₂-at₂=（10-5$\sqrt{3}$）m/s＜v₁，不符合追上的實際情況，故舍去．
所以摩托車追上最后一輛汽車所用的時間：t=t₁=（20-10$\sqrt{3}$）s．
（2）由速度時間公式v₂′=v₂-at′得，摩托車速度減為10m/s時所用的時間：
t′=$\frac{{v}_{2}-{v}_{2}^{′}}{a}$=$\frac{20-10}{0.5}$s=20s，
由速度位移公式${v}_{2}^{′2}$-v₂²═-2ax₂得，摩托車行駛的位移：
x₂=$\frac{{v}_{2}^{2}-{v}_{2}^{′2}}{2a}$=$\frac{2{0}^{2}-1{0}^{2}}{2×0.5}$m=300m，
汽車的位移：x₁=v₁t′=10×20m=200m，
則摩托車與最后一輛汽車的距離：
△x=x₂-x₁-s₀=（300-200-25）m=75m，
則摩托車相遇的汽車數：n′=$\frac{75}{25}$+1=4輛．
故摩托車與車隊中汽車共相遇的次數：N=2（n′-1）+1=7次．
（3）由（1）可知，t₁=（20-10$\sqrt{3}$）s即為摩托車追上汽車車隊最后一輛車所用的時間，
t₂=（20+10$\sqrt{3}$）s即為汽車車隊最后一輛車超過摩托車的所用的時間，
則摩托車從趕上車隊到離開車隊共經歷的時間：△t=t₂-t₁=20$\sqrt{3}$s．
答：（1）摩托車從開始剎車經過10（2-$\sqrt{3}$）s能第一次追上汽車車隊的最后一輛車；
（2）摩托車最多與4輛汽車相遇，摩托車與車隊中汽車共相遇7次．
（3）摩托車從趕上車隊到離開車隊，共經歷20$\sqrt{3}$s的時間．

點評 本題是相遇問題，根據對兩物體運動過程的分析，畫出兩物體運動的情景圖，抓住汽車和摩托車之間的位移關系是求解的關鍵，充分挖掘題目中的隱含條件，如“剛好”、“恰巧”、“最多”、“至少”等，若被追趕的物體做勻減速運動，一定要注意追上前該物體是否已停止運動，結合運動學公式靈活求解．