Question

3．兩個行星的質量分別為m和3m，繞太陽運動的軌道半徑分別為2r和3r，求：
（1）它們與太陽間的引力之比；
（2）它們的公轉周期之比．

Answer 1

分析 （1）根據萬有引力定律即可求出它們與太陽間的引力之比．
（2）根據G$\frac{M{m}_{\;}}{{r}^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}m}{{T}^{2}}r$解答．

解答 解：（1）設太陽的質量為M，根據F=G$\frac{M{m}_{\;}}{{r}^{2}}$，知它們的引力之比為：$\frac{GM{m}_{1}}{{{R}^{2}}_{1}}$：$\frac{GM{m}_{2}}{{R}_{2}^{2}}$=$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}：\frac{{R}_{1}^{2}}{{R}_{2}^{2}}$=$\frac{1}{3}$：（$\frac{2r}{3r}$）²=3：4
（2）根據F=G$\frac{M{m}_{\;}}{{r}^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}m}{{T}^{2}}r$知T=2$π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，知它們的周期之比為：2$π\sqrt{\frac{{R}_{1}^{3}}{GM}}$：2$π\sqrt{\frac{{R}_{2}^{3}}{GM}}$=$\sqrt{（2r）^{3}}：\sqrt{（3r）^{3}}$=$\sqrt{8}$：$\sqrt{27}$
答：（1）它們與太陽間的引力之比是3：4；
（2）它們的公轉周期之比是$\sqrt{8}$：$\sqrt{27}$．

點評 本題考查萬有引力定律的應用，屬于簡單題目，注意根據公式變出所要求的物理量的表達式，再進行比例求解．