Question

15．如圖所示，水平轉臺上有一個質量為m的物塊，用長為l的輕質細繩將物塊連接在轉軸上，細繩與豎直轉軸的夾角θ=30°，此時繩伸直但無張力，物塊與轉臺間動摩擦因數為μ=$\frac{1}{3}$，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，物塊隨轉臺由靜止開始緩慢加速轉動，角速度為ω，重力加速度為g，則（　　）

• A． 當ω=$\sqrt{\frac{g}{2l}}$時，細繩的拉力為0
• B． 當ω=$\sqrt{\frac{3g}{4l}}$時，物塊與轉臺間的摩擦力為0
• C． 當ω=$\sqrt{\frac{4g}{3l}}$時，細繩的拉力大小為$\frac{4}{3}$mg
• D． 當ω=$\sqrt{\frac{g}{l}}$時，細繩的拉力大小為$\frac{1}{3}$mg

Answer 1

分析 對物體受力分析知物塊離開圓盤前合力F=f+Tsinθ=$m\frac{{v}^{2}}{r}$；N+Tcosθ=mg，根據題目提供的條件，結合臨界條件分析即可．

解答 解：A、當轉臺的角速度比較小時，物塊只受重力、支持力和摩擦力，當細繩恰好要產生拉力時：
$μmg={mω}_{1}^{2}（lsinθ）$，
解得：${ω}_{1}=\sqrt{\frac{2g}{3l}}$，由于$\sqrt{\frac{g}{2l}}＜\sqrt{\frac{2g}{3l}}$，所以當ω=$\sqrt{\frac{g}{2l}}$時，細線中張力為零．故A正確；
B、隨速度的增大，細繩上的拉力增大，當物塊恰好要離開轉臺時，物塊受到重力和細繩的拉力的作用，則：$mgtanθ={mω}_{2}^{2}（lsinθ）$
解得：${ω}_{2}=\sqrt{\frac{2\sqrt{3}g}{3l}}$，由于${ω}_{1}＜\sqrt{\frac{3g}{4l}}＜{ω}_{2}$，所以當ω=$\sqrt{\frac{3g}{4l}}$時，物塊與轉臺間的摩擦力不為零．故B錯誤；
D、當ω=$\sqrt{\frac{4g}{3l}}$＞ω₂時，小球已經離開轉臺，細繩的拉力與重力的合力提供向心力，則：$mgtanα=m（\sqrt{\frac{4g}{3l}}）^{2}lsinα$
解得：cosα=$\frac{3}{4}$，故$F=\frac{mg}{cosα}=\frac{4}{3}mg$．故C正確．
D、由于${ω}_{1}＜\sqrt{\frac{g}{l}}＜{ω}_{2}$，由牛頓第二定律：$f+Fsinθ=m（\sqrt{\frac{g}{l}}）^{2}lsinθ$，因為壓力小于mg，所以$f＜\frac{1}{3}mg$，解得：F＞$\frac{1}{3}$mg．故D錯誤；
故選：AC

點評 此題考查牛頓運動定律的應用，注意臨界條件的分析，至繩中出現拉力時，摩擦力為最大靜摩擦力；轉臺對物塊支持力為零時，N=0，f=0．題目較難，計算也比較麻煩．