Question

如圖2-1所示，輕質長繩水平地跨在相距為2L的兩個小定滑輪A、B上，質量為m的物塊懸掛在繩上O點，O與A、B兩滑輪的距離相等。在輕繩兩端C、D分別施加豎直向下的恒力F=mg。先托住物塊，使繩處于水平拉直狀態，由靜止釋放物塊，在物塊下落過程中，保持C、D兩端的拉力F不變。

（1）當物塊下落距離h為多大時，物塊的加速度為零？

（2）在物塊下落上述距離的過程中，克服C端恒力F做功W為多少？

（3）求物塊下落過程中的最大速度Vm和最大距離H？

Answer 1

分析與解：物塊向下先作加速運動，隨著物塊的下落，兩繩間的夾角逐漸減小。因為繩子對物塊的拉力大小不變，恒等于F，所以隨著兩繩間的夾角減小，兩繩對物塊拉力的合力將逐漸增大，物塊所受合力逐漸減小，向下加速度逐漸減小。當物塊的合外力為零時，速度達到最大值。之后，因為兩繩間夾角繼續減小，物塊所受合外力豎直向上，且逐漸增大，物塊將作加速度逐漸增大的減速運動。當物塊下降速度減為零時，物塊豎直下落的距離達到最大值H。

當物塊的加速度為零時，由共點力平衡條件可求出相應的θ角，再由θ角求出相應的距離h，進而求出克服C端恒力F所做的功。

對物塊運用動能定理可求出物塊下落過程中的最大速度Vm和最大距離H。

（1）當物塊所受的合外力為零時，加速度為零，此時物塊下降距離為h。因為F恒等于mg，所以繩對物塊拉力大小恒為mg，由平衡條件知：2θ=120°，所以θ=60°，由圖2-2知：h=L*tg30°=L　　 　 　　　　　　 　 　　　　 　　 [1]

（2）當物塊下落h時，繩的C、D端均上升h’，由幾何關系可得：h’=-L　 [2]

克服C端恒力F做的功為：W=F*h’ 　　 　　　　　 　　　　 　　　 [3]

由[1]、[2]、[3]式聯立解得：W=（-1）mgL

（3）出物塊下落過程中，共有三個力對物塊做功。重力做正功，兩端繩子對物塊的拉力做負功。兩端繩子拉力做的功就等于作用在C、D端的恒力F所做的功。因為物塊下降距離h時動能最大。由動能定理得：mgh-2W=　 　　　　　　　 [4]

將[1]、[2]、[3]式代入[4]式解得：Vm=

當物塊速度減小為零時，物塊下落距離達到最大值H，繩C、D上升的距離為H’。由動能定理得：mgH-2mgH’=0，又H’=-L，聯立解得：H=。