Question

2．如圖所示，物體 A 的質量為 M，圓環 B 的質量為 m，通過繩子連結在 一起，圓環套在光滑的豎直桿上，開始時連接圓環的繩子處于水平，長度 l=4m，現從靜 止釋放圓環．不計定滑輪和空氣的阻力，取 g=10m/s²．
（ 1）若圓環恰能下降 h=3m，求兩個物體的質量之比 $\frac{M}{m}$；
（ 2）若圓環下降 h=3m 時的速度 v=5m/s，求兩個物體的質量之比$\frac{M}{m}$．

Answer 1

分析 圓環下降過程中，圓環與A組成的系統機械能守恒，由此可得質量關系式，進而由幾何關系分析AB的位移關系，可得兩物體的質量關系．注意（1）中末速度為零，而（2）中還有動能存在．

解答 解：（1）若圓環恰好能下降h=3m，由機械能守恒定律得：mgh=Mgh_A，
由幾何關系可得：h²+l²=（l+h_A）²
解得兩個物體的質量應滿足關系  M=3m
故M：m=3：1
（2）若圓環下降h=3m時的速度v=5m/s，由機械能守恒定律得：
mgh=Mgh_A+$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{1}{2}$Mv_A²
如圖所示，A、B的速度關系為：v_A=vcosθ=$\frac{hv}{\sqrt{{h}^{2}+{l}^{2}}}$
解得兩個物體的質量關系為M：m=35：29．
答：（ 1）若圓環恰能下降 h=3m，求兩個物體的質量之比為3：1．
（ 2）若圓環下降 h=3m 時的速度 v=5m/s，求兩個物體的質量之比為35：29．

點評 該題的關鍵是用好系統機械能守恒這個知識點；要注意明確恰好下落3m時，末速度應為零，而如果還有末速度時，應注意考慮動能．