Question

如圖所示的“S”字形玩具軌道，該軌道是用內壁光滑的薄壁細圓管彎成，固定在豎直平面內，軌道彎曲部分是由兩個半徑相等半圓連接而成，圓半徑比細管內徑大得多，軌道底端與水平地面相切，彈射裝置將一個小球（可視為質點）從a點水平彈射向b點并進入軌道，經過軌道后從p點水平拋出，已知小物體與地面ab段間的動摩擦因數μ=0.2，不計其它機械能損失，ab段長L=1.25m，圓的半徑R=0.1m，小物體質量m=0.01kg，軌道總質量為M=0.15kg，g=10m／s²，求：
（1）若v₀=5m／s，小物體從p點拋出后的水平射程；
（2）若v₀=5m／s，小物體經過軌道的最高點時，管道對小物體作用力的大小和方向。
（3）設小球進入軌道之前，軌道對地面的壓力大小等于軌道自身的重力，當v₀至少為多少時，軌道對地面的壓力為零。

Answer 1

解：（1）設小物體運動到點的速度大小為，對小物體由a點運動到p點過程應用動能定理得
小物體自p點做平拋運動，設運動時間為，水平射程為，則

聯立代入數據解得
（2）設在軌道最高點時管道對小物體的作用力大小為F，取豎直向下為正方向，據牛頓第二定律得
聯立代入數據解得，方向豎直向下
（3）分析可知，要使小球以最小速度v₀運動，且軌道對地面的壓力為零，則小球的位置應該有“S”形道的中間位置
據牛頓第二定律得

據動能定律得：
解得：