Question

如圖所示，水平地面上方有一絕緣彈性豎直薄檔板，板高h=3 m，與板等高處有一水平放置的小籃筐，筐口的中心距擋板s=1 m。整個空間存在勻強磁場和勻強電場，磁場方向垂直紙面向里，磁感應強度B=1T，而勻強電場未在圖中畫出；質量m=1×10^-3kg、電量q=﹣1×10^-3C的帶電小球(視為質點)，自擋板下端的左側以某一水平速度v₀開始向左運動，恰能做勻速圓周運動，若小球與檔板相碰后以原速率彈回，且碰撞時間不計，碰撞時電量不變，小球最后都能從筐口的中心處落入筐中。(g取10m/s²，可能會用到三角函數值sin37°=0.6，cos37°=0.8)。試求：

(1)電場強度的大小與方向；

(2)小球運動的可能最大速率；

(3)小球運動的可能最長時間。

Answer 1

(1)小球做勻速圓周運動，則

　　　　　 2分

故　　　　　 1分

　　　　 1分

方向豎直向下　　　　 1分

(2)若小球速率最大，則運動半徑最大，

如軌跡①所示

　 2分

　　　　 2分

由　　　 2分

　　　　1分

　　　 　　　 1分

(3)因為速度方向與半徑垂直，圓心必在擋板所在的豎直線上。

　　 且

　　 小球與擋板碰撞n次后落入筐中，則有

　　

　　 ，故n可取0或1才能保證小球落入筐中　　　　　　

①　　 當n=0時，即為(2)問中的解

②　　 當n=1時，有

　 　　　　　2分

　　 可得，運動軌跡如由圖中②所示

　　 或者，運動軌跡如由圖中③所示

　　 以軌跡③運動，小球所花時間最長　 1分

則有

　　 　　　　　　　　　 2分

　　 　　　　　　　　　 2分

　　 故θ=53°，軌跡③運動對應的圓心角α=360°+(180°-53°)=487°

　　 運動最長時間為　　　 　　　2分