Question

4．已知某星球的質量是地球質量的81倍，半徑是地球半徑的9倍，在地球上發射一顆衛星，其第一宇宙速度為7.9km/s，則在某星球上發射一顆人造衛星，其發射速度最小是多少？

Answer 1

分析 建立模型：衛星繞地球做勻速圓周運動，地球對衛星的萬有引力提供向心力．推廣到其他球星．根據此模型，利用比例法求星球上發射人造衛星最小發射速度．

解答 解：設地球質量為M₁，半徑為R₁；某星球的質量為M₂，半徑為R₂
由萬有引力定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
故地球和該星球第一宇宙速度之比為：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{M}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}{M}_{2}}}$=$\sqrt{\frac{9}{81}}$=$\frac{1}{3}$
則在該星球上發射人造衛星速度至少為：v₂=3v₁=23.7km/s
答：在該星球上發射一顆人造衛星，其發射速度最小是23.7km/s．

點評 本題是衛星類型問題，關鍵是要建立物理模型，運用萬有引力定律和向心力知識，加上數學變換來求解．