Question

9．“大自然每個領域都是美妙絕倫的．”隨著現代科技發展，人類不斷實現著“上天入地”的夢想，但是“上天容易入地難”，人類對腳下的地球還有許多未解之謎．地球可看作是半徑為R的球體．以下在計算萬有引力時，地球可看作是質量集中在地心的質點．
（1）已知地球兩極的重力加速度為g₁，赤道的重力加速度為g₂，求地球自轉的角速度ω；
（2）某次地震后，一位物理學家通過數據分析，發現地球的半徑和質量以及兩極的重力加速度g₁都沒變，但赤道的重力加速度由g₂略微減小為g₃，于是他建議應該略微調整地球同步衛星的軌道半徑．請你求出同步衛星調整后的軌道半徑r'與原來的軌道半徑r之比$\frac{r'}{r}$．

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律列出物體在兩極和赤道的動力學方程，聯立即可求解ω
（2）先求地震前后得角速度之比，再根據萬有引力提供向心力求地震前后的同步衛星的軌道半徑之比

解答 解：（1）設地球的質量為M，對于質量為m的物體，在兩極有：$m{g}_{1}^{\;}=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$…①
在赤道，根據牛頓第二定律有：$\frac{GMm}{R^2}-m{g_2}=mR{ω^2}$…②
聯立①②可得：$ω=\sqrt{\frac{{g}_{1}^{\;}-{g}_{2}^{\;}}{R}}$
（2）設地震后地球自轉的角速度為ω'，根據牛頓第二定律有：$\frac{GMm}{R^2}-m{g_3}=mR{ω'^2}$…③
設同步衛星的質量為m'，根據牛頓第二定律，
地震前有：$G\frac{Mm′}{{r}_{\;}^{2}}=m′r{ω}_{\;}^{2}$…④
地震后有：$\frac{GMm'}{{{{r'}^2}}}=m'r'{ω'^2}$…⑤
聯立①②③④⑤可得：$\frac{r'}{r}=\root{3}{{\frac{{{g_1}-{g_2}}}{{{g_1}-{g_3}}}}}$
答：（1）已知地球兩極的重力加速度為g₁，赤道的重力加速度為g₂，地球自轉的角速度ω為$\sqrt{\frac{{g}_{1}^{\;}-{g}_{2}^{\;}}{R}}$；
（2）某次地震后，一位物理學家通過數據分析，發現地球的半徑和質量以及兩極的重力加速度g₁都沒變，但赤道的重力加速度由g₂略微減小為g₃，于是他建議應該略微調整地球同步衛星的軌道半徑．同步衛星調整后的軌道半徑r'與原來的軌道半徑r之比$\frac{r'}{r}$為$\sqrt{\frac{{g}_{1}^{\;}-{g}_{2}^{\;}}{R}}$．

點評 解決本題的關鍵是注意在考慮地球自轉的情況下，赤道上的物體萬有引力可分解為重力和向心力，物體在兩極萬有引力等于重力．