Question

16．隨著航天技術的不斷發展，人類宇航員可以乘航天器登陸一些未知星球．一名字航員在登陸某星球后為了測量此星球的質量進行了如下實驗：他把一小鋼球從距星球表面高度為h處以水平速度v₀拋出，測得落地點與拋出點間的水平距離為S．此前通過天文觀測測得此星球的半徑為R，已知萬有引力常量為G，不計小鋼球下落過程中的氣體阻力，可認為此星球表面的物體受到的重力等于物體與星球之間的萬有引力．求：
（1）此星球表面的重力加速度g；
（2）此星球的質量M；
（3）距離此星球表面高H的圓形軌道上的衛星．繞此星球做勻速園周運動的周期T．

Answer 1

分析 （1）根據$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$得出星球表面的重力加速度．
（2）根據萬有引力等于重力求出星球的質量．
（3）根據萬有引力提供向心力，結合萬有引力等于重力求出衛星在圓形軌道上運行的周期．

解答 解：（1）做平拋運動的物體在豎直方向做自由落體運動，由h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
得：g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$．
（2）根據星球表面的物體受到的萬有引力近似等于其重力，則：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}=\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$．
（3）根據萬有引力提供向心力得，$G\frac{Mm}{（R+H）^{2}}=m（R+H）（\frac{2π}{T}）^{2}$
又GM=gR²
解得$T=\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{g{R}^{2}}}$．
因為g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$．
所以T=$\sqrt{\frac{2{π}^{2}{（R+H）}^{3}{t}^{2}}{h{R}^{2}}}$．
答：（1）此星球表面的重力加速度g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$．
（2）此星球的質量為$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$．
（3）衛星的運行周期為$\sqrt{\frac{2{π}^{2}{（R+H）}^{3}{t}^{2}}{h{R}^{2}}}$．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，并能靈活運用．