Question

14．據報道，一小孩玩耍時不慎從45m高的陽臺上無初速度掉下，在他剛掉下時恰被樓下的一社區管理人員發現，該人員隨即迅速由靜止沖向小孩下落處的正下方樓底，準備接住小孩．已知管理人員到樓底的距離為18m，為確保能穩妥安全地接住小孩，管理人員將盡力節約時間，但又必須保證接住小孩時沒有水平方向的沖擊（即接住小孩時速度為零）．不計空氣阻力，將小孩和管理人員都看成質點，設管理人員奔跑過程中只做勻速或勻變速運動，g取10m/s²．
（1）管理人員至少需用多大的平均速度跑到樓底？
（2）若管理人員在奔跑過程中做勻加速或勻減速運動的加速度大小都為18m/s²，且最大速度不超過9m/s，求管理人員做勻速直線運動的時間？
（3）若管理人員在奔跑過程中做勻加速或勻減速運動的加速度大小相等，且最大速度不超過9m/s，求管理人員奔跑時加速度的大小需滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）兒童掉下做自由落體運動，可以通過自由落體的位移公式求出時間，根據時間再求管理員的最小平均速度；
（2）先求出管理員加速、減速的時間，再求出管理員加速、減速的總位移，從而求出勻速運動的位移，根據t=$\frac{x}{v}$求解勻運動的時間；
（3）管理員先加速到速度最大，再勻速，再減速到0，抓住三段時間和等于自由落體的時間，三段位移和等于管理員到樓底的距離，求出加速度所需滿足的條件．

解答 解：（1）兒童下落做自由落體運動，根據h=$\frac{1}{2}$gt²得下落的時間為：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×45}{10}}=3s$，
則管理員的最小平均速度為：$\overline{v}=\frac{x}{t}=\frac{18}{3}=6m/s$
（2）管理員加速、減速的時間為：t′=$\frac{v}{a}=\frac{9}{18}=0.5s$
位移為：s=$\frac{1}{2}{at′}^{2}=\frac{1}{2}×18×0.25=2.25m$
所以勻速運動的時間為：t″=$\frac{x-2s}{v}=\frac{18-2×2.25}{9}=1.5s$
（3）設加速度為a，加速、減速的時間為t₁，則有：${t}_{1}=\frac{9}{a}$ 
總位移為：x=s_加+s_勻+s_減
帶入數據得：18=$2×\frac{1}{2}{a（\frac{9}{a}）}^{2}+9×（t-2×\frac{9}{a}）$
其中t≤3s，
解得：a≥9m/s²
答：（1）管理人員至少以6m/s平均速度跑到樓底；
（2）管理人員做勻速直線運動的時間為1.5s；
（3）管理人員奔跑時加速度的大小需滿足a≥9m/s²．

點評 解決本題的關鍵理清管理人員在整個過程中的運動規律，抓住總時間和總位移，結合運動學規律靈活求解，難度中等．