Question

用長為L的細(xì)線拉一質(zhì)量為m的小球，小球帶電量為+q，細(xì)線一端懸于固定點(diǎn)O，整個(gè)裝置放在水平向右一足夠大的勻強(qiáng)電場中，小球靜止時(shí)細(xì)線與豎直方向的夾角為θ，電場范圍足夠大，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，求：
（1）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度大小；
（2）將小球拉至O點(diǎn)正下方最低點(diǎn)由靜止釋放，小球向上擺動過程中的最大速度大小；
（3）在（2）問中，小球運(yùn)動到最高點(diǎn)時(shí)細(xì)線對小球的拉力大小；
（4）若將小球拉至O點(diǎn)正下方最低點(diǎn)時(shí)給它一水平向右的初速度，小球在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動，這個(gè)初速度至少是多大？

Answer 1

（1）小球靜止A點(diǎn)時(shí)，受力如圖所示


據(jù)三力平衡條件，得
   tanθ=

qE

mg

解得，E=

mgtanθ

q

  ①
（2）小球運(yùn)動到平衡位置時(shí)速度最大，由動能定理，得
   qELsinθ-mgL（1-cosθ）=

1

2

mv² ②
將①式代入，得
v=

2gL(1-cosθ) cosθ

  ③
小球從最底點(diǎn)到最高點(diǎn)時(shí)，速度為零，向心力為零，細(xì)線與豎直方向成α角，由動能定理，得
qELsinα-mgL（1-cosα）=0  ④
將①式代入④式，得
   tanθsinα=1-cosα
解得，α=2θ
在最高點(diǎn)，重力與電場力合力的法線分力與拉力平衡，設(shè)線的拉力為F
F=mgcos2θ+qEsin2θ=mgcos2θ+mgtanθ?sin2θ=mg（2cos²θ-1）+mgtanθ?2sinθcosθ=mg
（3）設(shè)B點(diǎn)與A點(diǎn)對懸點(diǎn)O對稱，即AB為圓軌跡的直徑，當(dāng)小球恰好能運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)，就能在豎直面內(nèi)恰好做完整的圓周運(yùn)動
在B點(diǎn)，重力與電場力的合力提供向心力


 

mg

cosθ

=m

v 2B

L

設(shè)將小球拉至O點(diǎn)正下方最低點(diǎn)時(shí)給它一水平向右的初速度為v₀，由動能定理，得
-2mgLcosθ-qELsinθ=

1

2

mv_B²-

1

2

mv₀²
解得
v₀=

2gLcosθ+ 3gL cosθ

答：
（1）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度大小E=

mgtanθ

q

；
（2）將小球拉至O點(diǎn)正下方最低點(diǎn)由靜止釋放，小球向上擺動過程中的最大速度大小v=

2gL(1-cosθ) cosθ

；
（3）在（2）問中，小球運(yùn)動到最高點(diǎn)時(shí)細(xì)線對小球的拉力大小為mg；
（4）若將小球拉至O點(diǎn)正下方最低點(diǎn)時(shí)給它一水平向右的初速度，小球在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動，這個(gè)初速度至少是v₀=

2gLcosθ+ 3gL cosθ

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