Question

近幾年來，人們對火星表現出空前熱情，2003年一年之間先后有四顆探測器朝著火星絕塵而去．如圖所示，假設地球的質量為M，某探測器的質量為m，地球的半徑為R₀，地球表面附近的重力加速度g，已知重力勢能Ep=-G

Mm

r

，其中r為探測器到地球球心的距離．若不考慮地球、火星的自轉和一切空氣阻力的影響．
（1）試證明：從地面將該探測器發射至半徑為r的運行軌道，發射速度v=

gR0(2- R0 r )

．
（2）取R₀=6.4×10⁶m，地球表面附近的重力加速度g=9.8m/s²，試以上式求出發射速度的最小值和最大值．
（3）假設該探測器在火星上軟著陸時第一次彈起的最大高度為h，水平速度為v₁，第二次著陸時速度為v₂．求火星表面的重力加速度g_火．

Answer 1

分析：（1）地球對探測器的萬有引力作其在運動軌道做勻速圓周運動的向心力即：G

Mm

r 2

=m

v 運 2

r

，
又地球表面的重力等于萬有引力G

Mm

R 0  2

=mg，
探測器發射時具有的機械能為E₁=

1

2

mv 2-G

Mm

R 0

，
進入運行軌道后具有的機械能為E₂=

1

2

mv 運 2-G

Mm

r

，
由能量守恒定律，探測器在地球的引力場中運動時的總機械能不變，即：E₁=E₂
聯立以上各式可以解得發射速度．
（2）當探測器貼近地球表面做勻速圓周運動時，r=R₀，此時所需發射速度最小，為v_min=

gR0

，代入數據計算即可．
即當探測器擺脫地球的吸引時，所需發射速度最大，為v_max=

2gR0

，即為第二宇宙速度，代入數據計算即可．
（3）第二次著陸，由機械能守恒有：mg 火h+

1

2

mv

2  1

=

1

2

mv

2  2

，化簡可得火星表面的重力加速度．

解答：解：（1）設探測器在運行軌道做勻速圓周運動的速度為v_運，
地球對探測器的萬有引力提供其在運動軌道做勻速圓周運動的向心力，
即：G

Mm

r 2

=m

v 運 2

r

--------①
又G

Mm

R 0  2

=mg----------②
探測器發射時具有的機械能為E₁=

1

2

mv 2-G

Mm

R 0

------③
進入運行軌道后具有的機械能為E₂=

1

2

mv 運 2-G

Mm

r

----④
由能量守恒定律，探測器在地球的引力場中運動時的總機械能不變，即：E₁=E₂----⑤
①②③④⑤聯立解得：v=

gR0(2- R0 r )

----------⑥
（2）如果r=R₀，即當探測器貼近地球表面做勻速圓周運動時，所需發射速度最小，
為v_min=

gR0

=7.9×10³m/s．（此為第一宇宙速度）--------⑦
如果r→∞，即當探測器擺脫地球的吸引時，所需發射速度最大，
為v_max=

2gR0

=11.2×10³m/s．（此為第二宇宙速度）-------⑧
（3）探測器從高度為h到第二次著陸，由機械能守恒有：mg 火h+

1

2

mv

2  1

=

1

2

mv

2  2

------⑨
得出火星表面的重力加速度為：g 火=

v  2 2-v  1 2

2h

------⑩
答：（1）證明如上．
（2）發射速度的最小值為7.9×10³m/s，最大值為11.2×10³m/s．
（3）火星表面的重力加速度g 火=

v  2 2-v  1 2

2h

．

點評：本題把天體運動和能量守恒結合了起來，要掌握地球對探測器的萬有引力提供探測器在運動軌道上做勻速圓周運動所需要的向心力G

Mm

r 2

=m

v 運 2

r

，地球表面的重力等于萬有引力G

Mm

R 0  2

=mg．此題綜合能力要求較高，有一定的難度，屬于難題．