Question

兩平行金屬板間所加電壓隨時間變化的規律如圖所示，大量質量為m、帶電量為e的電子由靜止開始經電壓為U₀的電場加速后連續不斷地沿兩平行金屬板間的中線射入，若兩板間距恰能使所有子都能通過．且兩極長度使每個電子通過兩板均歷時3t₀，電子所受重力不計，試求：
（1）電子通過兩板時側向位移的最大值和最小值；
（2）側向位移最大和最小的電子通過兩板后的動能之比．

Answer 1

分析：（1）根據在不同時段的運動性質，結合位移表達式，從而列出最大位移與最小位移關系式，即可求解；
（2）根據各自位移的不同，結合動能定理，即可求解．

解答：解：（1）電子在t=2 nt₀（其中：n=0、1、2、…）時刻進入電場，電子通過兩極的側向位移最大，
在t=（2n+l）t₀（其中n=0、l、2、…）時刻進入電場電子通過兩板側向位移最小．
電子側向位移最大時，進入電場在沿電場線方向上作初速度為零的勻加速運動，
再作勻速運動，后作初速度不為零的勻加速運動，各段運動的時間均為t₀；
當電子側向位移最小時，在電場線上只有在第二個t₀的時間開始作初速度為零的勻加速運動，
在第三個t₀的時間作勻速運動．電子進入偏轉電場后，在電場中的加速度均為a=

eU0

md

，電子側向最大位移為
y_max=

1

2

at₀²+at₀²+at₀²+

1

2

at₀²=3at₀²=

3eU0 t 2 0

md

．  
解得：y_max=

d

2

由以上兩式解得y_max=t₀

6emU0

m

；
 d=2y_max=2t₀

6emU0

m

；
電子側向最小位移為y_min=at₀²/2+at₀²=

1

2

y_max=

1

2

t₀

6emU0

m

；
解得：y_min=

d

4

（2）電子離開偏轉電場時的動能等于加速電場和偏轉電場電場力做功之和．
當電子的側向位移為最大時，電子在電場中加速（只有加速，電場力才做功）．
運動的距離為y₁=

2

3

 y_max=

d

3

，電子的側向位移最小時，
電子在電場中加速運動的距離為y₂=

1

3

y_min=

d

12

，
側向位移最大的電子動能為 E_kmax=eU_O+eU_O?

y1

d

=

4

3

eU_O，
側向位移最小的電子動能為E_kmin=eU_O+eU_O?

y2

d

=

13

12

eU_O，
故E_kmax：E_kmin=16：13
答：（1）電子通過兩板時側向位移的最大值

d

2

和最小值

d

4

；
（2）側向位移最大和最小的電子通過兩板后的動能之比16：13．

點評：考查由運動情況來運用位移與時間關系式，并掌握動能定理的應用，搞清不同時段的運動性質，這是解題的關鍵．