Question

9．圖甲所示的陀螺可在圓軌道的外側旋轉而不脫落，好像軌道對它施加了魔法一樣，被稱為“魔力陀螺”，該玩具深受孩子們的喜愛．其物理原理可等效為如圖乙所示的模型：半徑為R的磁性圓軌道豎直固定，質量為m的小鐵球（視為質點）在軌道外側轉動，A、B兩點分別為軌道上的最高、最低點．鐵球受軌道的磁性引力始終指向圓心且大小不變，不計摩擦和空氣阻力，重力加速度為g．下列說法正確的是（　　）

• A． 鐵球可能做勻速圓周運動
• B． 鐵球繞軌道轉動時機械能守恒
• C． 鐵球在A點的速度可能等于$\sqrt{gR}$
• D． 要使鐵球不脫軌，軌道對鐵球的磁性引力至少為6mg

Answer 1

分析 把軌道彈力N與磁性引力F合成，等效成桿的力，可將小鐵球的運動相當于桿拉物體在豎直平面內做圓周運動，所以為變速率的圓周運動；運用機械能守恒的條件判斷小球的機械能守恒；A點速度可能為$\sqrt{gR}$，即等效桿上的力為零即可，不脫軌的臨界條件是在最容易脫軌的B點恰好與軌道間的彈力為零，運用動能定理與圓周運動某點的牛頓第二定律結合定量計算出

解答 解：
A．對小鐵球進行受力分析，小球受豎直向下的重力mg，沿半徑向外的軌道彈力N，指向圓心的磁性引力F，軌道彈力N與磁性引力F時刻與速度方向垂直不做功，但是重力做功會改變速度大小，所以鐵球在豎直平面做變速率的圓周運動，故A選項錯誤；
B．由于軌道彈力N與磁性引力F時刻與速度方向垂直，不做功，只有重力做功所以鐵球的機械能守恒，故B選項正確；
C．對小球在最高點受力分析，根據沿半徑方向的合力提供向心力，在A點對物體有：mg+F-N=m$\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$，因為N是大小變化的力，而且存在與F相等的可能，所以當N=F時，鐵球在A點的速度即為$\sqrt{gR}$，故C選項正確；
D．磁性引力最小值的臨界條件為：小球從最高點A由靜止運動到B點時，恰好在B點與軌道間的彈力N=0，恰好重力和磁性引力的合力提供向心力，從A到B對小鐵球運用動能定理：2mgR=$\frac{1}{2}$m${{v}_{B}}^{2}$，在B點對小球運用牛頓第二定律：F-mg=m$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，兩式子聯立得磁性引力的最小值為F=5mg，故D選項錯誤．
故選：BC

點評 本題是一道綜合的問題，考查點包括豎直平面圓周運動，向心力，動能定理以及機械能守恒定律．大家要認真讀題，根據題中已知建立物理模型．運用等效代替的方法去分析ABC三個選項可提高解題效率．分析D選項時，關鍵是要分析出磁性引力最小值的臨界條件：小球從最高點A由靜止運動到B點時，恰好在B點與軌道間的彈力N=0，恰好重力和磁性引力的合力提供向心力．