Question

如圖所示，一個質量m=0.5kg的小球（視為質點）從H=12m高處，由靜止開始沿光滑弧形軌道AB滑下，接著進入半徑R=4m的豎直圓環，當到達環頂C時，剛好對軌道壓力為零；小球沿左半環CB滑下后，再進入光滑弧形軌道BD，且到達D點時速度為零，g取10m/s²，下列說法正確的是（　　）

A、在由A到D的過程中，小球的機械能守恒

B、小球第一次過B點時對軌道的壓力大小是30N

C、小球從B到C的過程中克服阻力做的功是10J

D、D點離地面的高度小于12m

Answer 1

分析：當小球到達環頂C時，剛好對軌道壓力為零，由牛頓第二定律求出小球經過C點時的速度，得到其機械能，再與小球在A點的機械能比較，分析小球的機械能是否守恒．根據機械能守恒定律求出小球第一次過B點時的速度，由牛頓運動定律求解小球對軌道的壓力．由動能定理求解小球從B到C的過程中克服阻力做的功．

解答：解：
A、當小球到達環頂C時，剛好對軌道壓力為零，由牛頓第二定律得：mg=m

v 2 C

R

，得v_C=

gR

，以B點所在水平面為參考平面，則小球經過C點時的機械能為E_C=mg?2R+

1

2

m

v

2 C

=50J，小球經過A點時的機械能為E_A=mgh=60J．可見，在由A到D的過程中，小球的機械能不守恒．故A錯誤．
B、對于A到B過程，由機械能守恒得：mgH=

1

2

m

v

2 B

，在B點：N-mg=m

v 2 B

R

，代入解得，N=35N，則小球第一次過B點時對軌道的壓力大小是35N．故B錯誤．
C、對于B到C過程，由動能定理得：-mg?2R-W_f=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

mv

2 B

，代入解得：W_f=10J，即小球從B到C的過程中克服阻力做的功是10J．故C正確
D、由于小球的機械能有損失，所以D點離地面的高度小于H=12m．故D正確．
故選CD．

點評：本題是隱含的臨界問題，當小球恰好到達環頂C時，由重力提供向心力，速度為v_C=

gR

．