Question

2008年春節(jié)前后，我國(guó)南方部分地區(qū)遭遇了罕見(jiàn)的雪災(zāi)，此次雪災(zāi)造成輸電線被厚厚的冰層包裹，使相鄰兩個(gè)鐵塔間的拉力大大增加，導(dǎo)致電力設(shè)施被嚴(yán)重?fù)p毀．
設(shè)想若干個(gè)相同鐵塔等高、等距，其結(jié)構(gòu)模型如圖所示．已知鐵塔（左右對(duì)稱）質(zhì)量為m，塔基寬度為d．相鄰鐵塔間輸電線的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，其單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為m_o，輸電線頂端的切線與豎直方向成θ角．已知冰的密度為ρ，設(shè)冰層均勻包裹在輸電線上，且冰層的橫截面為圓形，半徑為R（輸電線的半徑可忽略）．



（1）被冰層包裹后，每個(gè)鐵塔塔尖所受的壓力將比原來(lái)增大多少？
（2）被冰層包裹后，輸電線在最高點(diǎn)、最低點(diǎn)所受的拉力大小分別為多少？
（3）若某鐵塔一側(cè)的輸電線在頂端斷裂，該鐵塔由于受力不對(duì)稱，會(huì)造成該塔以塔基另一側(cè)與地面的接觸點(diǎn)為軸旋轉(zhuǎn)翻倒．已知地面對(duì)塔基的最大拉力為F（該力可簡(jiǎn)化為作用點(diǎn)位于塔基中心、方向豎直向下的拉力），忽略包裹鐵塔的冰雪，要使鐵塔不致翻倒，輸電線上包裹的冰層半徑R的最大值R_max為多少？

Answer 1

（1）輸電線線冰層的體積V_冰=πR²L
由對(duì)稱關(guān)系可知，塔尖所受壓力的增加值等于一根導(dǎo)線上冰層的重力，即
△N=ρgV_冰=ρgπR²L
（2）輸電線與冰層的總質(zhì)量M'=m₀L+πρR²Lg，輸電線受力如圖甲所示．



由共點(diǎn)力的平衡條件，得2F₁cosθ=m₀Lg+πρR²Lg
輸電線在最高點(diǎn)所受的拉力F1=

m0+πρR2

2cosθ

gL
半根輸電線的受力如圖乙所示．
由共點(diǎn)力的平衡條件，得F₂=F₁sinθ
輸電線在最低點(diǎn)所受的拉力F2=F1sinθ=

m0+πρR2

2

?gLtanθ
（3）對(duì)鐵塔而言，假設(shè)恰好轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)力矩平衡條件，有：
mg?

d

2

=F₁?Hcosθ
將F₁代入解得：R =

[ (mg+F)d gL(Htanθ-d/2) -m0]? 1 πρ

答：（1）被冰層包裹后，每個(gè)鐵塔塔尖所受的壓力將比原來(lái)增大ρgπR²L；
（2）被冰層包裹后，輸電線在最高點(diǎn)所受的拉力大小為

m0+πρR2

2cosθ

gL，最低點(diǎn)所受的拉力大小為

m0+πρR2

2

?gLtanθ；
（3）要使鐵塔不致翻倒，輸電線上包裹的冰層半徑R的最大值R_max為

[ (mg+F)d gL(Htanθ-d/2) -m0]? 1 πρ

．