Question

如圖甲所示，水平加速電場的加速電壓為U₀，在它的右側有由水平正對放置的平行金屬板a、b構成的偏轉電場，已知偏轉電場的板長L=0.10m，板間距離d=5.0×10^-2 m，兩板間接有如圖15乙所示的隨時間變化的電壓U，且a板電勢高于b板電勢．在金屬板右側存在有界的勻強磁場，磁場的左邊界為與金屬板右側重合的豎直平面MN，MN右側的磁場范圍足夠大，磁感應強度B=5.0×10^-3T，方向與偏轉電場正交向里（垂直紙面向里）．質量和電荷量都相同的帶正電的粒子從靜止開始經過電壓U₀=50V的加速電場后，連續沿兩金屬板間的中線OO′方向射入偏轉電場中，中線OO′與磁場邊界MN垂直．已知帶電粒子的比荷

q

m

=1.0×10⁸ C/kg，不計粒子所受的重力和粒子間的相互作用力，忽略偏轉電場兩板間電場的邊緣效應，在每個粒子通過偏轉電場區域的極短時間內，偏轉電場可視作恒定不變．
（1）求t=0時刻射入偏轉電場的粒子在磁場邊界上的入射點和出射點間的距離；
（2）求粒子進入磁場時的最大速度；
（3）對于所有進入磁場中的粒子，如果要增大粒子在磁場邊界上的入射點和出射點間的距離，應該采取哪些措施？試從理論上推理說明．

Answer 1

分析：（1）由動能定理可以求出粒子離開加速度電廠時的速度，由牛頓第二定律可以求出粒子在磁場中的軌道半徑，然后確定粒子進入與離開磁場的距離．
（2）粒子在偏轉電場中做類平拋運動，應用平拋運動規律與動能定理可以求出粒子的最大速度．
（3）求出粒子在磁場邊界上的入射點和出射點間的距離表達式，然后找出增大該距離的措施．

解答：解：（1）設經過加速電場加速后，粒子的速度為v₀，
由動能定理得：qU0=

1

2

mv02，
解得：v₀=

2qU0 m

=1.0×10⁵m/s，
由于t=0時刻偏轉電場的場強為零，此時射入偏轉電場的粒子將勻速穿過電場而以v₀的速度垂直磁場邊界進入磁場中，
在磁場中的運動軌跡為半圓．設粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑為r，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m

v02

r

，解得r=

mv0

qB

，
粒子在磁場邊界上的入射點和出射點間的距離d=2r=0.40m；
（2）設粒子以最大偏轉量離開偏轉電場，即軌跡經過金屬板右側邊緣處，
進入磁場時a、b板的電壓為U_m，則粒子進入偏轉電場后，加速度a=

qUm

m

，
在水平方向 L=v₀t，在豎直方向 y=

1

2

at²，
解得Um=

2U0d2

L2

=25v＜50v；
電壓U_m=25V時對應粒子進入磁場的速度最大，
設最大速度大小為v_m，方向與OO′的夾角為q，
則對于粒子通過加速電場和偏轉電場的過程，
由動能定理得：qU₀+q=

1

2

mv_m ，
解得v_m=

2qU0 m + qUm m

=

5

2

×10⁵m/s=1.1×10⁵m/s，
tanθ=

vy

v0

=

1

2

，即θ=arctan

1

2

，
（或cosθ=

v0

vm

=

2

5

5

，即θ=arccos

2

5

5

）
（3）設任意時刻進入磁場的粒子，其進入磁場時速度方向與OO′的夾角為α，
則其速度大小 v=

v0

cosα

，
粒子在磁場中做圓周運動的軌跡半徑  R=

mv

qB

=

mv0

qBcosα

，
由如圖答-3所示的幾何關系可知，粒子在磁場邊界上的入射點和出射點間的距離
  x=2Rcosα=

2mv0

qB

=

2

B

2mU0 q

，
所以要增大粒子在磁場邊界上的入射點和出射點間的距離x，應該減小勻強磁場的磁感應強度B，或增大加速電壓U₀；
答：（1）t=0時刻射入偏轉電場的粒子在磁場邊界上的入射點和出射點間的距離為0.4m．
（2）粒子進入磁場時的最大速度為1.1×10⁵m/s．
（3）增大粒子在磁場邊界上的入射點和出射點間的距離x，應該減小勻強磁場的磁感應強度B，或增大加速電壓U₀．

點評：應用動能定理、類平拋運動的知識、牛頓定律即可正確解題；本題難度較大，是一道難題．