Question

abc是光滑絕緣的軌道，其中ab是水平的，bc為與ab相切的位于豎直平面內的半圓，半徑R=0.4m，質量m=0.20㎏的不帶電小球A靜止在軌道上，另一質量M=0.60㎏，速度V₀，帶正電，電量為1×10^-3C的小球B與小球A發生正碰，碰后兩球粘在一起，所帶電量不變，在半圓軌道中存在水平向右勻強電場E=8

3

×103N/C半圓軌道bc左側無電場．已知相碰后AB球經過半圓軌道最高點C落到軌道上距b點L=0.4m處，重力加速度g=10m/s²求：
（1）小球B的初速度v₀大小
（2）AB球碰后粘在一起，在半圓軌道上，運動的最大速度？
（3）AB球在速度最大時，球對軌道的壓力大小？

Answer 1

分析：（1）兩球相碰的過程中滿足動量守恒定律，b到c的過程中重力做功，機械能守恒；小球離開c后做平拋運動，使用平拋運動的公式即可解題；
（2）兩球在等效最低點時的速度最大，確定該最低點的位置，算出外力的總功，使用動能定理即可；
（3）小球在圓軌道內，軌道對小球的支持力與重力、電場力的合力提供向心力．

解答：解：（1）對碰撞的過程，由動量守恒定律得：Mv₀=（M+m）v₁
碰后小球達到半圓的最高點c時的速度為v₂，則對小球在豎直方向上有：

1

2

(M+m)

v

2 1

=

1

2

(M+m)

v

2 2

+2(M+m)gR
小球離開c后做平拋運動，豎直方向：

1

2

gt2=2R
水平方向：x=v₂t
代入數據解得：v₀=

4

3

17

m/s，v₁=

17

m/s；
（2）碰后小球在電場中受到的電場力：F1=qE=1×0-3×8

3

×103N=8

3

N
兩個小球的重力和電場力的合力：F=

(M+m)2g2+ F 2 1

=

256

N=16N
設合力與豎直方向的夾角為θ，則sinθ=

F1

F

=

3

2

，cosθ=

mg+Mg

F

=0.5；
過圓弧的圓心，沿重力與電場力合力的方向做直線，直線與圓弧的交點就是復合場的等效最低點，小球在等效最低點的速度最大，設為v_m；
兩個小球從B到等效最低點的過程中，重力和電場力做功，小球的動能增加：

1

2

(M+m)

v

2 m

-

1

2

(M+m)

v

2 1

=qERsinθ-(M+m)gR(1-cosθ)
代入數據解得：vm=

25

m/s=5m/s
（3）速度最大時，軌道對小球的支持力與重力、電場力的合力提供向心力：
FN-F=

(M+m) v 2 m

R

代入數據解得：FN=F+

(M+m) v 2 m

R

=16N+50N=66N
根據牛頓第三定律，球對軌道的壓力大小和軌道對小球的支持力大小相等方向相反，所以球對軌道的壓力大小為66N．
答：（1）小球B的初速度v₀大小為

4

3

17

m/s；
（2）AB球碰后在半圓軌道上運動的最大速度為5m/s；
（3）AB球在速度最大時，球對軌道的壓力大小為66N．

點評：在本題中物體不僅受重力的作用，還有電場力，在解題的過程中，一定要分析清楚物體的受力和運動過程，兩球在碰撞過程中動量守恒，碰后b到c的過程機械能守恒，b到最低點的過程機械能不守恒．題目中物體的運動過程比較復雜，在解題時一定分析清楚運動過程．