Question

如圖所示，x軸的上方存在方向與x軸成45°角的勻強電場，電場強度為E，x軸的下方存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度B=0.5T．有一個質量m=10^-11kg，電荷量q=10^-7C的帶正電粒子，該粒子的初速度v₀=2×10³m/s，從坐標原點O沿與x軸成45°角的方向進入勻強磁場，經過磁場和電場的作用，粒子從O點出發后第四次經過x軸時剛好又回到O點處，設電場和磁場的區域足夠寬，不計粒子重力，求：
①帶電粒子第一次經過x軸時的橫坐標是多少？
②電場強度E的大小及帶電粒子從O點出發到再次回到O點所用的時間．

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場中受洛倫茲力作用下做一段圓弧后第一次經過x軸，根據洛倫茲力提供向心力公式求出半徑，再根據幾何關系求出坐標；
（2）然后進入電場中，恰好做勻減速運動直到速度為零后又返回，以相同速率再次進入磁場仍在洛倫茲力作用下又做一段圓弧后，再次進入電場正好做類平拋運動．粒子在磁場中兩次運動剛好完成一個周期，由粒子在電場中的類平拋運動，根據垂直電場方向位移與速度關系，沿電場方向位移與時間關系，結合牛頓第二定律求出E，三個過程的總時間即為總時間．

解答：解：
①粒子在磁場中受磁場力的作用沿圓弧運動，洛侖茲力提供向心力，qvB=m

v2

R

，
半徑R=

mv

Bq

=0.4m，
根據圓的對稱性可得粒子在磁場中第一次偏轉所對的圓心角為90°，
則第一次經過x軸時的橫坐標為x1=

2

R=0.4

2

m≈0.57m
②第一次進入電場，運動方向與電場方向相反，做勻減速直線運動，速度減為零后又反向加速返回磁場，在磁場中沿圓周運動，再次進入電場時速度方向剛好垂直電場方向，在電場力的作用下偏轉，打在坐標原點O處，其運動軌跡如圖所示．

由幾何關系可得，第二次進入電場中的位移為2

2

R，
在垂直電場方向的位移s₁=vt₁，
運動時間t1=

s1

v

=

2R

v

=4×10-4s
在沿電場方向上的位移s2=

1

2

a

t

2 1

，
又因s₂=2R
得a=

2s2

t 2 1

=1×107m/s2
根據牛頓第二定律a=

Eq

m

所以電場強度E=

ma

q

=1×103V/m
粒子從第一次進入電場到再返回磁場的時間t2=

2v

a

=4×10-4s，
粒子在磁場中兩段運動的時間之和剛好是做一個完整圓周運動的周期T=

2πm

Bq

=4π×10-4s
所以粒子從出發到再回到原點的時間為t=t1+t2+T≈2.1×10-3s
答：①帶電粒子第一次經過x軸時的橫坐標是0.57m；
②電場強度E的大小為1×10³V/m，帶電粒子從O點出發到再次回到O點所用的時間為2.1×10^-3s．

點評：本題考查帶電粒子在電場、磁場中兩運動模型：勻速圓周運動與類平拋運動，及相關的綜合分析能力，以及空間想像的能力，應用數學知識解決物理問題的能力．