Question

14．我國志愿者王躍曾與俄羅斯志愿者一起進行“火星500”的實驗活動．假設王躍登陸火星后，測得火星的半徑是地球半徑的$\frac{1}{2}$，質量是地球質量的$\frac{1}{9}$．已知地球表面的重力加速度是g，地球的半徑為R，王躍在地面上能向上豎直跳起的最大高度是h，忽略自轉的影響，下列說法正確的是（　　）

• A． 火星表面的重力加速度是$\frac{4g}{9}$
• B． 火星的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比為$\frac{2}{3}$
• C． 火星的密度為$\frac{2g}{3πGR}$
• D． 王躍以與在地球上相同的初速度在火星上起跳后，能達到的最大高度是$\frac{9h}{2}$

Answer 1

分析 求一個物理量之比，我們應該把這個物理量先表示出來，在進行之比，根據萬有引力等于重力，得出重力加速度的關系，根據萬有引力等于重力求出質量表達式，在由密度定義可得火星密度；由重力加速度可得出上升高度的關系，根據萬有引力提供向心力求出第一宇宙速度的關系．

解答 解：A、由$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$，得到：$g=\frac{GM}{{R}^{2}}$，已知火星半徑是地球半徑的$\frac{1}{2}$，質量是地球質量的$\frac{1}{9}$，則火星表面的重力加速度是地球表重力加速度的$\frac{4}{9}$，即為$\frac{4}{9}$g．故A正確；
B、由G$\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，得到$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的$\frac{\sqrt{2}}{3}$倍．故B錯誤；
C、設火星質量為M′，由萬有引力等于重力可得：$G\frac{M′m}{R{′}^{2}}=mg′$，
解得：$M′=\frac{g′R{′}^{2}}{G}$，密度為：$ρ=\frac{M′}{V}$=$\frac{2g}{3πGR}$．故C正確；
 D、王躍以v₀在地球起跳時，根據豎直上拋的運動規律得出可跳的最大高度是：$h=\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$，則能達到的最大高度是$\frac{9h}{4}$，故D錯誤；
故選：AC

點評 此題是對萬有引力定律的考查；關鍵是根據萬有引力等于重力以及萬有引力等于衛星做圓周運動的向心力導出重力加速度及第一宇宙速度的關系式，然后根據火星和地球的半徑及質量關系求解討論；此題難度中等．