Question

4．如圖所示，豎直平面內固定有半徑R=4.05m的$\frac{1}{4}$圓弧軌道PQ，與足夠長的水平面相切于Q點．質量為5m的小球B靜置于水平面上，質量為m的小球A從P處由靜止釋放，經過Q點后與B發生正碰．兩球均可視為質點，不計一切摩擦，所有碰撞過程均為彈性碰撞，取重力加速度g=10m/s²．求：
（i）A第一次與B碰撞后的速度v_A1；
（ii）B的最終速度v_B的大小．

Answer 1

分析 （i）A由P點到Q點的過程，根據機械能守恒定律求出A運動到Q點的速度．A第一次與B碰撞過程，根據動量守恒定律求A第一次與B碰撞后的速度v_A1；
（ii）第一碰撞后，A的速度大小大于B的速度大小，兩者還能發生第二次碰撞，對于第二次碰撞，根據動量守恒定律和能量守恒定律求出B的最終速度v_B的大小．

解答 解：（i）A由P點到Q點的過程，根據機械能守恒定律有：
 $\frac{1}{2}$mv²=mgR
代入數據得：v=9m/s
以水平向右為正方向，A第一次與B碰撞過程，根據動量守恒定律和能量守恒定律有：
  mv=mv_A1+5mv_B1
$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$m${v}_{A1}^{2}$+$\frac{1}{2}$×5m${v}_{B1}^{2}$
解得：v_B1=3m/s，v_A1=-6m/s，負號表示方向水平向左．
（ii）A與B第二次碰撞前的速度為：-v_A1=6m/s
A第二次與B發生碰撞過程有：
  m（-v_A1）+5mv_B1=mv_A2+5mv_B2
  $\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$m${v}_{A2}^{2}$+$\frac{1}{2}$×5m${v}_{B2}^{2}$
解得：v_A2=1m/s，v_B2=4m/s（另一組根不符合題意，已舍去）
由于v_A2＜v_B2，所以B的最終速度大小為：v_B=v_B2=4m/s．
答：（i）A第一次與B碰撞后的速度v_A1是6m/s，方向水平向左．       
（ii） B的最終速度v_B的大小為4m/s．

點評 解決本題的關鍵要掌握碰撞的基本規律：動量守恒定律，彈性碰撞的基本規律：動量守恒定律和能量守恒定律．解題時要選取正方向．