Question

【題目】同步回旋加速器結構如圖所示，軌道磁鐵產生的環形磁場在同一時刻處處大小相等，帶電粒子在環形磁場的控制下沿著固定半徑的軌道做勻速圓周運動，穿越沿途設置的高頻加速腔從中獲取能量.如題圖所示．同步加速器中磁感應強度隨被加速粒子速度的增加而增加，高頻加速電場的頻率與粒子回旋頻率保持同步．已知圓形軌道半徑為R，被加速粒子的質量為m、電荷量為+q，加速腔的長度為L，且L<<R,當粒子進入加速腔時，加速電壓的大小始終為U，粒子離開加速腔時，加速腔的電壓為零．已知加速腔外無電場、腔內無磁場；不考慮粒子的重力、相對論效應對質量的影響以及粒子間的相互作用．若在t=0時刻將帶電粒子從板內a孔處靜止釋放，求：

（1）帶電粒子第k次從b孔射出時的速度的大小vk；

（2）帶電粒子第k次從b孔射出到第(k+1)次到達b孔所經歷的時間；

（3）帶電粒子第k次從b孔射出時圓形軌道處的磁感應強度Bk的大��；

（4）若在a處先后連續釋放多個上述粒子，這些粒子經過第1次加速后形成一束長度為l1的粒子束（l1<L），則這一束粒子作為整體可以獲得的最大速度vmax．

Answer 1

【答案】(1) (2)πR (3) (4)

【解析】

(1)粒子在電場中被加速，由動能定理得：kqU＝mvk2﹣0

解得：

(2) 粒子做圓周運動的周期：

由題意可知，加速空腔的長度：L＜＜R，

粒子在空腔的運動時間可以忽略不計，下一次經過b孔的時間間隔等于粒子在磁場中做圓周運動的周期：

(3)粒子第k次從b孔射出，粒子被電場加速k'次，由動能定理得：kqU＝mvk2﹣0

解得：

粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvkBk＝，解得：

(4)粒子第一次加速后的速度：

從第一個粒子進入加速空腔到最后一個粒子進入加速空腔的時間：，

由可知，粒子被第二次加速后的速度：

粒子被二次加速后這一束粒子的長度：l2＝v2t1＝l1

粒子被第三次加速后的速度：

從第一個粒子進入加速空腔到最后一個粒子進入加速空腔的時間：

粒子被三次加速后這一束粒子的長度：l3＝v3t2＝l1

粒子被第四次加速后的速度：

從第一個粒子進入加速空腔到最后一個粒子進入加速空腔的時間：

粒子被三次加速后這一束粒子的長度：l4＝v4t3＝l1

…

粒子被第k次加速后的速度：

從第一個粒子進入加速空腔到最后一個粒子進入加速空腔的時間：

粒子被k次加速后這一束粒子的長度：lk＝vktk﹣1＝l1

當粒子束的長度：lk＝l1＝L，即：k＝時粒子束的速度最大，

由動能定理得：qU＝mvmax2﹣0，解得：