Question

如圖甲所示，在空心三棱柱CDF以外足夠大的空間中，充滿著磁感應強度為B的勻強磁場。三棱柱的軸線與磁場平行，截面邊長為L，三棱柱用絕緣薄板材料制成，其內部有平行于CD側面的金屬板P、Q，兩金屬板間的距離為d，P板帶正電，Q板帶負電，Q板中心有一小孔，P板上與小孔正對的位置有一個粒子源S，從S處可以發出初速度為0、帶電量為＋q、質量為m的粒子，這些粒子與三棱柱側面碰撞時無能量損失。試求：

   （1）為使從S點發出的粒子最終又回到S點，P、Q之間的電壓U應滿足什么條件?（Q與CD之間距離不計）

   （2）粒子從S點出發又回到S點的最短時間是多少?

   （3）若磁場是半徑為a的圓柱形區域，如圖乙所示，圓柱的軸線與三棱柱的軸線重合，且a＝（＋）L，要使S點發出的粒子最終又回到S點，則P、Q之間的電壓不能超過多少?

 

Answer 1

⑴設粒子到達Q板小孔時的速度為υ，由動能定理得

     ①  （2分）

從小孔發出的粒子在洛倫茲力的作用下做圓周運動，根據牛頓第二定律

     ②  （2分）

粒子能回到小孔的條件是： L＝2R（2n-1） （n＝1，2，3，…）     ③  （2分）

由①②③解得                （n＝1，2，3，…）     ④  （2分）

⑵粒子在磁場中做圓周運動的周期為   ⑤

當④式中n＝1時，粒子從S出發又回到S時間最短，粒子在磁場中分別以D、F、C為圓心做圓周運動，半徑為   R＝     ⑥  （2分）

設粒子從S到小孔所用時間為t₁，則       ⑦  （2分）

粒子在磁場中運動的時間為          ⑧  （2分）

粒子從S點出發又回到S點的最短時間為  t＝2t₁＋t₂       ⑨  （1分）

由以上各式解得                       ⑩  （2分）

⑶設D點到磁場邊界的最近距離為L₁，由已知條件得

        （2分）

從S發出的粒子要回到S，就必須在磁場區域內運動，即滿足條件

               

由③④解得   （2分）

其他合理解答，同樣給分。