Question

如圖所示，若在湖水里固定一細長圓管，管內有一活塞，它的下端位于水面上．活塞的底面積S=1cm²，質量不計，水面上的大氣壓強p₀=1.0×10⁵Pa．現(xiàn)把活塞緩慢地提高H=15m，水上升h=10m，則拉力對活塞做功為

 

 J．

Answer 1

分析：由于大氣壓強的限制根據(jù)P=ρgh的變形式求出活塞上升時，管內、外水位差的最大值，由于河水體積很大且水管的內徑很細，故管內水位上升時，管外水位的降低量h_外可以忽略不計，得出管內水面（或活塞）相對于河岸的升高量和真空部分的高度．
水上升階段：以活塞為研究對象，它受到向上的力F、向下的大氣壓力和管內的水向上的壓力，根據(jù)力的平衡條件得出任意時刻管內、外水位差為h時拉力的表達式，進一步求出力F的平均值，根據(jù)W=Fs求出此階段拉力做的功．
水不上升階段：力F做的功等于活塞克服大氣壓力做的功，根據(jù)F=PS和W=Fs求出此階段拉力做的功；整個過程中，力F做的功等于兩者之和．

解答：解：（1）由于大氣壓強的限制，活塞上升時，
管內、外水位差存在一個最大值h=10m，所以管內水面（或活塞）相對于河岸的升高量等于管內、外水位差，即h₁=h=10m；
活塞繼續(xù)上升了h₂=H-h₁=5m時，水面不動，活塞與水之間是真空．
（2）水上升階段：設任意時刻向下的大氣壓力和管內的水向上的壓力為F_下、F_上，管內、外水位差為h，則：
則有F_下=p₀S，F(xiàn)_上=（p₀-ρgh）S，
由于活塞始終平衡，故F-F_下+F_上=0，即F-p₀S+（p₀-ρgh）S=0，
解得：F=ρghS．
可見，力F跟h成正比，F(xiàn)在h₁距離上的平均值為：F=

1

2

ρgh₁S．
F在h₁距離上的功為：W_F=Fh₁=

1

2

gh₁S?h₁=

1

2

×1.0×10³×10×10m×1×10^-4×10=50J．
（3）水不上升階段：力F做的功等于活塞克服大氣壓力做的功，
故有：W_F′=p₀Sh₂=1.0×10⁵×1×10^-4×5=50J．
所以整個過程中，力F做的功等于：W_F+W_F′=50J+50J=100J．
故答案為：100．

點評：本題關鍵是知道活塞上升時會分兩個階段，即水上升階段和水不上升階段；難點是會對活塞進行受力分析得出水上升階段拉力的大小．