Question

倔強系數為k的水平輕質彈簧，左端固定，右端系一質量為m的物體．物體可在有摩擦的水平桌面上滑動（如圖）．彈簧為原長時物體位于O點，現在把物體沿彈簧長度方向向右拉到距離O點為A₀的P點按住，放手后彈簧把物體拉住．設物體在第二次經過O點前，在O點左方停住．計算中可以認為滑動摩擦系數與靜摩擦系數相等．
（1）討論物體與桌面間的摩擦系數μ的大小應在什么范圍內．
（2）求出物體停住點離O點的距離的最大值．并回答：這是不是物體在運動過程中所能達到的左方最遠值？為什么？

Answer 1

分析：（1）物體在距離O點為l處停住不動的條件是：一是物體的速度為0，彈性勢能的減小量等于克服滑動摩擦力所做的功，二是彈簧彈力小于等于物體與水平面的最大靜摩擦力，據此分析計算動摩擦因數的大小范圍；
（2）根據（1）的分析過程討論最遠點距O點的距離．

解答：解：（1）對物體運動做如下分析：
①物體向左運動并正好停在O點的條件是：

1

2

k

A

2 0

=μmgA0得：
μ=

1

2mg

kA0
②若μ＜

1

2mg

kA0，則物體滑過O點，設它到O點左方B處（設OB=L₁）時速度為0，則有：

1

2

k

A

2 0

-

1

2

k

L

2 1

=μmg(A0+L1)    
（2）若物體能停住，則kL₁≤μmg，故得μ≥

1

3mg

kA0
③如果②能滿足，但μ＜

1

3mg

kA0，則物體不會停在B處而要向右運動．μ值越小，則往右滑動的距離越遠．設物體正好停在O處，則有：

1

2

k

L

2 1

=μmgL1
得μ=

1

4mg

kA0．題目要求停在O點的左方，則相應地要求μ＞

1

4mg

kA0
綜合以上分析得，物體停在O點左方而不是第二次經過O點時，μ的取值范圍為：

kA0

4mg

＜μ＜

kA0

2mg

（2）當μ在

1

3mg

kA0≤μ≤

1

2mg

kA0范圍內時，物體向左滑動直到停止而不返回，由（2）式可求出最遠停住點（設為B₁點）到O點的距離為L，則：
L=A0-

2μmg

k

=A0-(

2mg

k

)(

kA0

3mg

)=

A0

3

當μ＜

1

3mg

kA0時，物體在B₁點（OB₁=

A0

3

）的速度大于0，因此物體將繼續(xù)向左運動，但它不可能停在B₁點的左方．因為與B₁點相對應的μ=

1

3mg

kA0，L₁=

A0

3

，如果停留在B₁點的左方，則物體在B₁點的彈力大于

kA0

3

，而摩擦力μmg=

kA0

3

，小于最大靜摩擦力，所以物體不可能停住而一定返回，最后停留在O與B₁之間．所以無論μ取何值，物體停住與O點的最大距離為

A0

3

，但這不是物體在運動過程中所能達到的左方的最遠值．
答：（1）物體與桌面間的摩擦系數μ的大小應在

kA0

4mg

＜μ＜

kA0

2mg

；
（2）求出物體停住點離O點的距離的最大值為

A0

3

這不是物體在運動過程中所能達到的左方最遠值．原因見分析．

點評：本題關鍵抓住極限法，求出物體停在某一位置上時的條件，根據臨界條件逐一分析可能值，抓住關鍵的臨界點，巧用極限法討論分析是關鍵．本題是競賽題難度較大．