Question

（2004?南京三模）如圖甲所示，A、B是一對平行放置的金屬板，中心各有一個小孔P、Q，PQ連線垂直金屬板，兩板間距為d．現從P點處連續不斷地有質量為 m、帶電量為+q的帶電粒子（重力不計），沿PQ方向放出，粒子的初速度可忽略不計．在t=0時刻開始在A、B間加上如圖乙所示交變電壓（A板電勢高于B板電勢時，電壓為正），其電壓大小為U、周期為T．帶電粒子在A、B間運動過程中，粒子間相互作用力可忽略不計．

（1）如果只有在每個周期的0～

T

4

時間內放出的帶電粒子才能從小孔Q中射出，則上述物理量之間應滿足怎樣的關系．
（2）如果各物理量滿足（1）中的關系，求每個周期內從小孔Q中有粒子射出的時間與周期T的比值．

Answer 1

分析：（1）通過分析每個周期內帶電粒子的運動情況，確定只有在每個周期的0～

T

4

時間內放出的帶電粒子才能從小孔Q中射出時應滿足的條件，根據牛頓第二定律和運動學公式求解各物理量之間應滿足的關系．
（2）t=0時刻進入電場的粒子在電場中運動的時間為最短，由運動學公式求出最短時間．

解答：解：（1）在0→

T

4

時間內，進入A、B板間的粒子，在電場力的作用下，先向右做勻加速運動，在

T

2

→T時間內再向右做勻減速運動，且在0→

T

4

時間內，越遲進入A、B板間的粒子，其加速過程越短，減速運動過程也相應地縮短，當速度為零后，粒子會反向向左加速運動．由題意可知0→

T

4

時間內放出的粒子進入A、B板間，均能從Q孔射出，也就是說在

T

4

時刻進入A、B板間的粒子是能射出Q孔的臨界狀態．
粒子在

T

4

時刻進入A、B間電場時，先加速，后減速，由于粒子剛好離開電場，說明它離開電場的速度為零，由于加速和減速的對稱性，故粒子的總位移為加速時位移的2倍，所以有
   d=2×

1

2

a(

T

4

)2=

qUT2

16md

即   d2=

qUT2

16m

①
（2）若情形（1）中的關系式①成立，則t=0時刻進入電場的粒子在電場中運動的時間為最短（因只有加速過程），設最短時間為t_x，則有
   d=

1

2

a

t

2 x

②
在t=

T

4

時刻進入電場的粒子在t=

3T

4

的時刻射出電場，所以有粒子飛出電場的時間為 △t=

3T

4

-tx ③
由②③式得  

△t

T

=

3- 2

4

④
答：
（1）各物理量之間應滿足的關系是即d2=

qUT2

16m

．
（2）每個周期內從小孔Q中有粒子射出的時間與周期T的比值是

3- 2

4

．

點評：本題關鍵是分析帶電粒子的運動情況，確定出臨界條件，運用牛頓第二定律和運動學規律結合進行求解．