Question

1．如圖所示，在長為100$\sqrt{3}$m的跑道上靜止放有質量m=50kg的木箱，已知木箱與跑道間的摩擦系數為μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，今給物體施加一大小為F=500N的力作用．求：
（1）為使物體以最短的時間到達終點，F應如何施加？
（2）物體到達終點的最短時間為多少？

Answer 1

分析 （1）當物體的加速度最大時，物體以最短時間到達終點，結合牛頓第二定律，運用數學三角函數求出最大加速度以及F的方向．
（2）根據位移時間公式求出物體到達終點的最短時間．

解答 解：（1）根據牛頓第二定律得，$a=\frac{Fcosθ-μ（mg-Fsinθ）}{m}$=$\frac{500cosθ-\frac{\sqrt{3}}{3}（500-500sinθ）}{50}$=$10（cosθ+\frac{\sqrt{3}}{3}sinθ）-\frac{10\sqrt{3}}{3}$=$\frac{20\sqrt{3}}{3}sin（θ+φ）-\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
由數學知識可知，最大加速度a=$\frac{10\sqrt{3}}{3}m/{s}^{2}$，此時θ=30°．
（2）根據x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得，最短時間t=$\sqrt{\frac{2x}{a}}=\sqrt{\frac{2×100\sqrt{3}}{\frac{10\sqrt{3}}{3}}}s=2\sqrt{15}s$≈7.746s．
答：（1）為使物體以最短的時間到達終點，F應與水平方向的夾角為30度斜向上．
（2）物體到達終點的最短時間為7.746s．

點評 本題考查了牛頓第二定律和運動學公式的綜合運用，知道加速度是聯系力學和運動學的橋梁，難度不大．