Question

如圖所示，在xy平面內有一個半徑為R圓形勻強磁場區域，與y軸相切于坐標原點O，磁場強度為B，方向垂直紙面向里，在x=3R處有一個與x軸垂直的熒光屏PQ，t=0時刻，在紙面內從坐標原點O以相等速率向磁場內沿不同的方向發射粒子，粒子的質量為m、電荷量為+q，其中沿x正方向發射的粒子從圓形磁場區域射出時與x軸正方向夾角為60°，粒子的重力不計．
（1）求粒子的速度v₀．
（2）求在磁場中運動最長時間粒子在磁場中運動的時間及此粒子打在熒光屏上的坐標（可用反三角函數表示）
（3）若虛線的圓形磁場邊界是一個固定的絕緣的閉合圓環，且粒子與圓環碰撞為彈性碰撞無電荷量轉移，求沿x軸正方向發射的粒子經過多長時間回到坐標原點O及粒子運動軌跡圍成的面積S．

Answer 1

分析：（1）作出粒子在磁場中運動的軌跡圖，根據幾何關系求出粒子在磁場中運動的軌道半徑，根據洛倫茲力提供向心力求出粒子的初速度大小．
（2）當粒子在磁場中運動的軌跡弦長最長的時候，粒子運動的時間也最長，作出軌跡圖，根據幾何關系求出圓心角的大小，結合周期公式求出粒子在磁場中的運動時間．射出磁場后做勻速直線運動，出磁場時與x軸的夾角與進磁場時與x軸的夾角相等，根據幾何關系求出粒子打在熒光屏上的坐標．
（3）作出粒子的運動軌跡圖，結合圓心角，通過周期公式求出粒子在磁場中運行的時間．根據幾何關系求出運動軌跡圍成的面積．

解答：解：（1）沿x軸正方向發射的粒子其軌跡如圖，
則：r=Rcot

θ

2

=

3

R，
又粒子在磁場中做勻速圓周運動：qv0B=m

v02

r

聯立解得：v0=

3 BqR

m

．
（2）因為r＞R，所以當粒子在磁場中運動的軌跡弦長最長的時候，粒子運動的時間也最長，軌跡如圖，設此時粒子的初始速度方向與x軸夾角為α，則：
sinα=

R

r

，又T=

2πr

v0

=

2πm

qB

，
所以tmax=

2α

2π

T=

2marcsin 3 3

Bq

粒子穿出磁場后做勻速運動，所以

.

y

.

=Rtanα=

2

2

R
所以粒子打在熒光屏的坐標為（3R，-

2

2

R）
（3）粒子的運動軌跡如圖，

所以時間為t=3?

θ

2π

T=

πm

qB

．
所以軌跡圍成的面積為
S=3(rR-

θ

2π

π×r2)=(3

3

-

3π

2

)R2．
答：（1）粒子的速度v0=

3 BqR

m

．
（2）在磁場中運動最長時間粒子在磁場中運動的時間為

2marcsin 3 3

Bq

，粒子打在熒光屏上的坐標為（3R，-

2

2

R）
（3）沿x軸正方向發射的粒子經過

πm

qB

回到坐標原點O，粒子運動軌跡圍成的面積為(3

3

-

3π

2

)R2．

點評：解決本題的關鍵作出粒子的運動軌跡圖，根據帶電粒子在磁場中的半徑公式、周期公式，結合幾何關系進行求解．