Question

（2003?天津）一傳送帶裝置示意圖，其中傳送帶經(jīng)過(guò)AB區(qū)域時(shí)是水平的，經(jīng)過(guò)BC區(qū)域時(shí)變?yōu)閳A弧形（圓弧由光滑模板形成，未畫(huà)出），經(jīng)過(guò)CD區(qū)域時(shí)是傾斜的，AB和CD都與BC相切．現(xiàn)將大量的質(zhì)量均為m的小貨箱一個(gè)一個(gè)在A處放到傳送帶上，放置時(shí)初速度為零，經(jīng)傳送帶運(yùn)送到D處，D和A的高度差為h．穩(wěn)定工作時(shí)傳送帶速度不變，CD段上各箱等距排列，相鄰兩箱的距離為L(zhǎng)．每個(gè)箱子在A處投放后，在到達(dá)B之前已經(jīng)相對(duì)于傳送帶靜止，且以后也不再滑動(dòng)（忽略經(jīng)BC段的微小滑動(dòng)）．已知在一段相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間T內(nèi)，共運(yùn)送小貨箱的數(shù)目N個(gè)．這裝置由電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)，傳送帶與輪子間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，不計(jì)輪軸處的摩擦．求電動(dòng)機(jī)的平均功率

.

P

．

Answer 1

分析：要求電動(dòng)機(jī)的平均功率，需要知道在T時(shí)間內(nèi)運(yùn)送小貨箱電動(dòng)機(jī)所做的功，而電動(dòng)機(jī)所做的功一是轉(zhuǎn)化為小貨箱的動(dòng)能，二是轉(zhuǎn)化為小貨箱的重力勢(shì)能，三是由于小貨箱和傳送帶發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的內(nèi)能；由于每個(gè)小貨箱都是從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)并且最后和傳送帶的速度相同，故每個(gè)小貨箱獲得的動(dòng)能相同．又由于每個(gè)小貨箱都是從底部運(yùn)送到頂部，故每個(gè)小貨箱增加的重力勢(shì)能相同，同樣產(chǎn)生的熱量相同，故需要求出每個(gè)小貨箱在加速的過(guò)程中產(chǎn)生的熱量．而熱量等于摩擦力與相對(duì)位移的乘積，故需要求解相對(duì)位移．

解答：解：以地面為參考系（下同），設(shè)傳送帶的運(yùn)動(dòng)速度為v₀，在水平段運(yùn)輸?shù)倪^(guò)程中，小貨箱先在滑動(dòng)摩擦力作用下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其末速度等于傳送帶的速度，設(shè)這段時(shí)間內(nèi)小貨箱通過(guò)的位移為s，所用的時(shí)間為t，加速度為a，則對(duì)小貨箱有
s=

1

2

at²                                                        ①
v₀=at                                                          ②
在這段時(shí)間內(nèi)，傳送帶運(yùn)動(dòng)的路程為
s₀=v₀t                                                          ③
由以上各式得
s₀=2s                                                           ④
用f表示小貨箱與傳送帶之間的滑動(dòng)摩擦力，則傳送帶對(duì)小貨箱做功為
W₁=fs=

1

2

mV02                                                     ⑤
傳送帶克服小箱對(duì)它的摩擦力做功
W₀=fs₀=2×

1

2

mV02                                                 ⑥
兩者之差就是克服摩擦力做功發(fā)出的熱量
Q=

1

2

mV02                                                         ⑦
可見(jiàn)，在小貨箱加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小貨箱獲得的動(dòng)能與系統(tǒng)因相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的熱量相等．
T時(shí)間內(nèi)，電動(dòng)機(jī)輸出的功為
W=

.

P

T                                                            ⑧
此功用于增加小貨箱的動(dòng)能、重力勢(shì)能以及克服摩擦力產(chǎn)生熱量，即
W=

1

2

NmV02+Nmgh+NQ                                               ⑨
已知相鄰兩小箱的距離為L(zhǎng)，所以在T時(shí)間內(nèi)運(yùn)送的小貨箱的個(gè)數(shù)N，
則V₀T=NL                                                     　 ⑩
聯(lián)立⑦⑧⑨⑩式，得

.

P

=

Nm

T

[

N2L2

T2

+gh]．

點(diǎn)評(píng)：無(wú)論多難的題目實(shí)際上都是由一些簡(jiǎn)單的題目綜合而成，故在遇到難題時(shí)不要緊張，更不能放棄，而是要心平氣和的分析題設(shè)和求解之間的關(guān)系，從而最終解決問(wèn)題．