Question

如圖甲所示，空間Ⅰ區域存在方向垂直紙面向里的有界勻強磁場，左右邊界線MN與PQ相互平行，MN右側空間Ⅱ區域存在一周期性變化的勻強電場，方向沿紙面垂直MN邊界，電場強度的變化規律如圖乙所示（規定向左為電場的正方向）．一質量為m、電荷量為+q的粒子，在t=0時刻從電場中A點由靜止開始運動，粒子重力不計．

（1）若場強大小E₁=E₂=E，A點到MN的距離為L，為使粒子進入磁場時速度最大，交變電場變化周期的最小值T₀應為多少？粒子的最大速度v₀為多大？
（2）設磁場寬度為d，改變磁感應強度B的大小，使粒子以速度v₁進入磁場后都能從磁場左邊界PQ穿出，求磁感應強度B滿足的條件及該粒子穿過磁場時間t的范圍．
（3）若電場的場強大小E₁=2E₀，E₂=E₀，電場變化周期為T，t=0時刻從電場中A點釋放的粒子經過n個周期正好到達MN邊界，假定磁場足夠寬，粒子經過磁場偏轉后又回到電場中，向右運動的最大距離和A點到MN的距離相等．求粒子到達MN時的速度大小v和勻強磁場的磁感應強度大小B．

Answer 1

分析：（1）當粒子在電場中一直做加速運動，進入磁場時速度最大，加速的時間為

1

2

T0，由牛頓第二定律和運動學公式結合求出A到MN的距離L，根據動能定理求最大速度．
（2）粒子射入磁場中做勻速圓周運動，當粒子軌跡半徑大于磁場的寬度d時，都能從磁場左邊界PQ穿出，由牛頓第二定律求B應滿足的條件．根據幾何關系，粒子在磁場中通過的弧長s應滿足的條件是d＜s＜

πd

2

，由圓周運動的規律求時間t的范圍．
（3）若電場的場強大小E₁=2E₀，E₂=E₀，電場變化周期為T，在一個周期粒子的加速度周期性變化，根據牛頓第二定律求前、后兩個半周內的加速度，得到在一個周期內速度的增量△v，經過n個周期到達MN時速度為v=n△v．粒子在磁場中運動的時間為t′=

T

2

．粒子在向右運動的最大距離和A點到MN的距離相等，說明粒子返回電場減速運動正好是前面加速的逆過程，根據對稱性可知，在磁場中運動時間t′應滿足t′=（2k+1）

T

2

（k=0、1、2、3…），聯立即可求出B．

解答：解：（1）當粒子在電場中一直做加速運動，進入磁場時速度最大，設加速時間為t，則L=

qE

2m

t2
        T₀=2t
解得 T₀=2

2mL qE

 
由動能定理有  qEL=

1

2

m

v

2 0

解得  v₀=

2qEL m

（2）設粒子在磁場運動的軌道半徑為r，則有
qv₁B=

m v 2 1

r

r＞d
解得  B＜

mv1

qd

根據幾何關系，粒子在磁場中通過的弧長s應滿足的條件是
d＜s＜

πd

2

粒子穿過磁場時間  t=

s

v1

解得  

d

v1

＜t＜

πd

2v1

（3）粒子在電場變化的前半周期內加速度大小  a₁=

2qE0

m

后半周期內加速度大小  a₂=

qE0

m

在一個周期內速度的增量△v=a₁

T

2

-a₂

T

2

經過n個周期到達MN時  v=n△v
解得 v=

nqE0T

2m

 
粒子在磁場中運動的周期  T=

2πm

qB

粒子在磁場中運動的時間  t′=

T

2

粒子在向右運動的最大距離和A點到MN的距離相等，說明粒子返回電場減速運動正好是前面加速的逆過程，根據對稱性可知，在磁場中運動時間t′應滿足
   t′=（2k+1）

T

2

（k=0、1、2、3…）
解得  B=

2πm

(2k+1)qT

  （k=0、1、2、3…）
答：
（1）交變電場變化周期的最小值T₀應為2

2mL qE

，粒子的最大速度v₀為

2qEL m

．
（2）磁感應強度B滿足的條件是B＜

mv1

qd

，該粒子穿過磁場時間t的范圍為

d

v1

＜t＜

πd

2v1

．
（3）粒子到達MN時的速度大小v為

nqE0T

2m

，勻強磁場的磁感應強度大小B為

2πm

(2k+1)qT

（k=0、1、2、3…）．

點評：本題是復合場中臨界條件問題，關鍵要分析臨界條件，對于周期性變化的電場，運用歸納法，分析速度變化量是關鍵，并抓住對稱性求時間．