Question

10．2015年7月24日，天文學家確認發現首顆位于“宜居帶”上體積最接近地球大小的行星（代號為“開普勒-452b”），這是人類在尋找另一顆地球的道路上的重要里程碑．設想某一天，宇航員登上該星球并做如下實驗：實驗裝置如圖甲所示，豎直平面內的光滑軌道由傾斜軌道AB和半圓弧軌道BC組成，將質量為m₀=0.2kg的小球，從軌道AB上高H處的某點靜止釋放，用力傳感器測出小球經過C點時對軌道的壓力F，改變高度H的大小，可測出相應的F大小，F隨H的變化關系如圖乙所示，萬有引力常量G=6.67×10^-11N•m²/kg²．求：（計算結果均保留3位有效數字）

（1）假設該行星的半徑R=5000km，求行星的質量M；
（2）在（1）問前提下，若已知質量為m的飛船距離該行星中心距離為r處的引力勢能表達式為E_p=-$\frac{GMm}{r}$，將質量為m=2000kg的飛船，在該行星上發射到距離行星表面的高度h=5000km的圓軌道上，火箭至少要對飛船做多少功？（為簡化計算不考慮行星自轉對發射的影響）

Answer 1

分析 （1）小球從A到C運動的過程中，只有重力做功，機械能守恒，根據機械能守恒定律和牛頓第二定律求出小球對軌道C點的壓力與H的關系式，然后結合F-H圖線求該行星表面的重力加速度．
（2）根據萬有引力提供向心力求出在圓軌道上的動能，結合初末狀態的機械能大小，通過功能關系求出火箭至少要對飛船做功的大小．

解答 解：（1）設小球質量為m，小球過C點有：$F+{m}_{C}g={m}_{C}\frac{{v}^{2}}{r}$，
對小球從出發到C點，由動能定理得，${m}_{C}g（H-2r）=\frac{1}{2}{m}_{C}{v}^{2}$，
聯立解得F=$\frac{2{m}_{C}g}{r}H-5{m}_{C}g$，
由圖可知，H₁=0.5m，F₁=0N，H₂=1.0m，F₂=5N，
解得g=5m/s²．
根據$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$得，行星的質量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
代入數據解得M=1.87×10²⁴kg．
（2）由題意可知，由于不考慮自轉，衛星在該行星表面的機械能為：${E}_{1}=-\frac{GMm}{R}$，
在h=R圓軌道上衛星的機械能：${E}_{2}=-\frac{GMm}{2R}+\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
根據萬有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{（2R）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{2R}$，
可得$\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{GMm}{4R}$，
${E}_{2}=-\frac{GMm}{2R}+\frac{1}{2}m{v}^{2}=-\frac{GMm}{4R}$，
由功能關系可得，$W={E}_{2}-{E}_{1}=-\frac{GMm}{4R}-（-\frac{GMm}{R}）$=$\frac{3GMm}{4R}$．
代入數據解得W=3.75×10¹⁰J．
答：（1）行星的質量為1.87×10²⁴kg．
（2）火箭至少要對飛船做功3.75×10¹⁰J．

點評 本題是牛頓運動定律與機械能守恒定律的綜合題，解決本題的關鍵根據該規律得出壓力F與H的關系式．以及掌握萬有引力定律的兩個重要理論，并能靈活運用．