Question

【題目】做功與路徑無關的力場叫做“勢場”，例如引力場和電場。在這類場中可以引入“場強”和“勢能”的概念來分別描述勢場中力和能的性質。可以類比電場強度的定義，將質點放在引力場中所受到的引力與質量的比值定義為引力場的場強。

如圖甲所示為某勢場的場強E的大小隨x的分布，圖中E0為已知量。在該勢場中，一個質點僅在場力作用下，以x = 0為中心，沿x軸做周期性運動。已知質點的質量為m，受到的場力可表示為F = kE（k為常量），場力方向平行于x軸。取x = 0點為O點。

（1）請從力和加速度的角度，分析說明質點在區域和區域的運動性質；

（2）功是能量轉化的量度，場力做功引起勢能的變化。取O點為零勢能點。

a．請推導出勢能Ep與x的關系式，并在圖乙中畫出勢能Ep隨x變化的示意圖。

b．已知質點的總能量為A，求質點與O點間距離為x0（x0在運動區間內）時，質點的動能Ek。

Answer 1

【答案】（1）在區域，質點受到的場力F = kE0，加速度a =，加速度恒定，質點做勻變速直線運動。

在區域，質點受到的場力F = kE0，加速度a = ，加速度恒定，質點做勻變速直線運動。

（2）a．如圖所示：

b．

【解析】

（1）根據牛頓第二定律求解加速度，從而判斷運動情況；

（2）根據功能關系判斷勢能Ep隨x變化；

（3）根據能量守恒來求解動能；

（1）根據題意，質點在場中受到的場力方向指向O點。

在區域，質點受到的場力F = kE0，加速度a =，加速度恒定，質點做勻變速直線運動。

在區域，質點受到的場力F = kE0，加速度a = ，加速度恒定，質點做勻變速直線運動。

質點在兩個區域均做加速度大小為，方向指向O點的勻變速直線運動；

（2）a．在區域，質點從O點向x軸正方向運動，場力做負功，勢能增加。

由，得，其中

解得：

同理可得，在區域，勢能

所以，勢能

勢能Ep隨x變化的示意圖如右圖所示：

b．質點在運動過程中動能與勢能互相轉化，能量守恒。

質點與O點距離為x0時，勢能

根據能量守恒，動能。