Question

8．如圖（a）所示，間距為l、電阻不計的光滑導軌固定在傾角為θ的斜面上．在區域Ⅰ內有方向垂直于斜面的勻強磁場，磁感應強度恒為B不變；在區域Ⅱ內有垂直于斜面向下的勻強磁場，其磁感應強度B_t的大小隨時間變化的規律如圖（b）所示．t=0時刻在軌道上端的金屬細棒ab從如圖位置由靜止開始沿導軌下滑，同時下端的另一金屬細棒cd在位于區域Ⅰ內的導軌上由靜止釋放．在ab棒運動到區域Ⅱ的下邊界EF處之前，cd棒始終靜止不動，兩棒均與導軌接觸良好．已知cd棒的質量為m、電阻為R，ab棒的質量、阻值均未知，區域Ⅱ沿斜面的長度為2l，在t=t_x時刻（t_x未知）ab棒恰進入區域Ⅱ，重力加速度為g．求：
（1）通過cd棒電流的方向和區域Ⅰ內磁場的方向；
（2）當ab棒在區域Ⅱ內運動時cd棒消耗的電功率；
（3）ab棒開始下滑的位置離EF的距離；
（4）ab棒從開始下滑至EF的過程中，回路中產生總的熱量．（結果用B、l、θ、m、R、g表示）

Answer 1

分析 （1）根據右手定則判斷出ab棒中的電流方向，從而得出通過cd棒中的電流方向，根據cd棒處于靜止，通過安培力的方向，根據左手定則判斷出區域I內磁場的方向．
（2）對cd棒，根據平衡求出感應電流的大小，根據P=I²R求出當ab棒在區域II內運動時cd棒消耗的電功率．
（3）棒ab進入II區域前后回路中的電動勢不變，即磁場變化產生電動勢與導體切割磁感線產生電動勢相等，據此求出導體棒進入II時速度大小，然后根據導體棒勻加速下滑的特點即可求出結果．
（4）回路中電流恒定，根據Q=EIt可求出結果．

解答 解：（1）通過cd棒的電流方向 d→c
區域I內磁場方向為垂直于斜面向上
（2）cd棒平衡，
BIl=mgsinθ，
I=$\frac{mgsinθ}{Bl}$
電流方向d→c，
當ab棒在區域II內運動時cd棒消耗的電功率$P={I}_{\;}^{2}R=（\frac{mgsinθ}{Bl}）_{\;}^{2}R=\frac{{m}_{\;}^{2}{g}_{\;}^{2}Rsi{n}_{\;}^{2}θ}{{B}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}}$
（3）前、后回路感應電動勢不變，
$\frac{△Φ}{△t}$=Blv_x，
即$\frac{（2B-B）}{t_x}{l^2}$=Blv_x，
解得l=v_xt_x
ab棒進入區域Ⅱ之前不受磁場力的作用，做勻加速直線運動，
S₁=$\frac{1}{2}$（0+v）t_x=0.5l
（4）ab棒進入區域Ⅱ后作勻速直線運動，
t₂=t_x，
總時間t_總=t_x+t₂=2t_x，
電動勢E=Blv_x不變，
總熱量：Q=EIt_總=2mgv_xt_xsinθ=2mglsinθ
答：（1）通過cd棒電流的方向d→c和區域Ⅰ內磁場的方向垂直于斜面向上；
（2）當ab棒在區域Ⅱ內運動時cd棒消耗的電功率$\frac{{m}_{\;}^{2}{g}_{\;}^{2}Rsi{n}_{\;}^{2}θ}{{B}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}}$；
（3）ab棒開始下滑的位置離EF的距離0.5l；
（4）ab棒從開始下滑至EF的過程中，回路中產生總的熱量2mglsinθ

點評 解決這類問題的關鍵是弄清電路結構，正確分析電路中的電流以及安培力的變化情況．