Question

20.如圖1所示，A、B為水平放置的平行金屬板，板間距離為d（d遠小于板的長和寬）.在兩板之間有一帶負電的質點P.已知若在A、B間加電壓U₀，則質點P可以靜止平衡.

圖1

            圖2

     現在A、B間加上如圖2所示的隨時間t變化的電壓U.在t=0時質點P位于A、B間的中點處且初速度為0.已知質點P能在A、B之間以最大的幅度上下運動而又不與兩板相碰，求圖2中U改變的各時刻t₁、t₂、t₃及t_n的表達式.（質點開始從中點上升到最高點，及以后每次從最高點到最低點或從最低點到最高點的過程中，電壓只改變一次）.

Answer 1

20. 設質點P的質量為m，電量大小為q，根據題意，當A、B間的電壓為U₀時，有

q=mg　                                                            ①

當兩板間的電壓為2U₀時，P的加速度向上，其大小為a，

q－mg=ma　                                                  ②

解得a=g

當兩板間的電壓為0時，P自由下落，加速度為g，方向向下.

在t=0時，兩板間的電壓為2U₀，P自A、B間的中點向上做初速為零的勻加速運動，加速度為g.經過τ₁，P的速度變為v₁，此時使電壓變為0，讓P在重力作用下做勻減速運動.再經過τ₁′，P正好到達A板且速度為0，故有

v₁=gτ₁　0=v₁－gτ₁′

d=gτ₁²+v₁τ₁′－gτ₁′²

由以上各式得τ₁=τ₁′　τ₁=

因為t₁=τ₁

得t₁=　                                                    ③

在重力作用下，P由A板處向下做勻加速運動，經過τ₂，速度變為v₂，方向向下.這時加上電壓使P做勻減速運動，經過τ₂′，P到達B板且速度為零，故有

v₂=gτ₂　0=v₂－gτ₂′

d=gτ₂²+v₂τ₂′－gτ₂′²

由以上各式得τ₂=τ₂′　τ₂=

因為t₂=t₁+τ₁′+τ₂

得t₂=　                                           ④

在電力與重力的合力作用下，P由B板處向上做勻加速運動，經過τ₃，速度變為v₃，此時使電壓變為0，讓P在重力作用下做勻減速運動，經過τ₃′，P正好到達A板且速度為0，故有

v₃=gτ₃　0=v₃－gτ₃′

d=gτ₃²+v₃τ₃′－gt₃′²

由上得τ₃=τ₃′　τ₃=

因為t₃=t₂+τ₂′+τ₃　                                           ⑤

得t₃=

根據上面分析，因重力作用，P由A板向下做勻加速運動，經過τ₂，再加上電壓，經過τ₂′，P到達B且速度為0，

因為t₄=t₃+τ₃′+τ₂

得t₄=

同樣分析可得

t_n=（+2n－3）（n≥2）　                          ⑥