Question

用密度為d、電阻率為ρ、橫截面積為A的薄金屬條制成邊長為L的閉合正方形框abb′a′．如圖所示，金屬方框水平放在磁極的狹縫間，方框平面與磁場方向平行．設勻強磁場僅存在于相對磁極之間，其他地方的磁場忽略不計．可認為方框的aa′邊和bb′邊都處在磁極間，極間磁感應強度大小為B．方框從靜止開始釋放，其平面在下落過程中保持水平（不計空氣阻力）．
（1）求方框下落的最大速度v_m（設磁場區域在豎直方向足夠長）；
（2）當方框下落的加速度為

g

2

時，求方框的發熱功率P；
（3）已知方框下落的時間為t時，下落的高度為h，其速度為v_t（v_t＜v_m）．若在同一時間t內，方框內產生的熱與一恒定電流I₀在該框內產生的熱相同，求恒定電流I₀的表達式．

Answer 1

（1）方框質量    m=4LAd
方框電阻            R=ρ

4L

A

方框下落速度為v時，產生的感應電動勢  E=B?2Lv
感應電流              I=

E

R

=

BAv

2ρ

方框下落過程，受到重力G及安培力F，
G=mg=4LAdg，方向豎直向下
安培力F=BI?2L=

B2AL

ρ

v，方向豎直向上
當F=G時，方框達到最大速度，即v=v_m
則           

B2AL

ρ

vm=4LAdg
方框下落的最大速度    vm=

4ρd

B2

g
（2）方框下落加速度為

g

2

時，根據牛頓第二定律有
mg-BI?2L=m

g

2

，
則                I=

mg

4BL

=

Adg

B

方框的發熱功率   P=I2R=

4ρALd2g2

B2

（3）根據能量守恒定律，方框重力勢能轉化動能和電流產生的熱量，所以有
 mgh=

1

2

m

v

2t

+

I

20

Rt
I0=

m Rt (gh- 1 2 v 2t )

解得：恒定電流I₀的表達式     I0=A

d ρt (gh- 1 2 v 2t )

答：（1）求方框下落的最大速度為

4ρd

B2

g；
（2）方框的發熱功率P是

4ρALd2g2

B2

；
（3）恒定電流I₀的表達式為 A

d ρt (gh- 1 2 v 2t )

．