Question

6．人類渴望探索宇宙，了解更多的地外文明，若假設某天人類發現了類地球行星，探測器飛近該星球后繞其環繞飛行，探測器記錄了飛行的周期T和飛行的速度大小v以及飛行高度h，求：
（1）該星球質量；
（2）該星球第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）探測器繞星球做勻速圓周運動，根據萬有引力等于向心力求出星球質量
（2）星球的第一宇宙速度即星球的近地衛星的運行速度

解答 解：（1）由$v=\frac{2πr}{T}$，得：$r=\frac{vT}{2π}$
根據萬有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$：
解得：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{G{T}_{\;}^{2}}×\frac{{v}_{\;}^{3}{T}_{\;}^{3}}{（2π）_{\;}^{3}}$=$\frac{{v}_{\;}^{3}T}{2πG}$
（2）星球的半徑為：$R=r-h=\frac{vT}{2π}-R$
根據萬有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：${v}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{\frac{{v}_{\;}^{3}T}{2π}}{\frac{vT}{2π}-R}}$=$\sqrt{\frac{{v}_{\;}^{3}T}{vT-2πR}}$
答：（1）該星球質量$\frac{{v}_{\;}^{3}T}{2πG}$；
（2）該星球第一宇宙速度$\sqrt{\frac{{v}_{\;}^{3}T}{vT-2πR}}$

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運用．