Question

如圖（甲）所示，x≥0的區域內有如圖乙所示大小不變、方向隨時間周期性變化的磁場，磁場方向垂直紙面向外時為正方向．現有一質量為m、帶電量為q的正電粒子，在t=0時刻從坐標原點O以速度v沿著與x軸正方向成75°角射入．粒子運動一段時間到達P點，P點坐標為（a，a），此時粒子的速度方向與

.

OP

延長線的夾角為30°．粒子在這過程中只受磁場力的作用．
（1）若B為已知量，試求粒子在磁場中運動時的軌道半徑R及周期T的表達式．
（2）說明在OP間運動的時間跟所加磁場的變化周期T之間應有什么樣的關系才能使粒子完成上述運動．
（3）若B為未知量，那么所加磁場的變化周期T、磁感強度B₀的大小各應滿足什么條件，才能使粒子完成上述運動？（寫出T及B₀各應滿足條件的表達式）

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場中作勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律可求出粒子運動軌跡的半徑．由帶電粒子在勻強磁場中的周期公式T=

2πR

v

可求出粒子的運動周期．
（2）畫出粒子的運動軌跡，通過題意找出磁場的變化周期和粒子的運動周期的關系，結合幾何圖形，可得出粒子到達P點的時間與磁場的變化周期T之間的關系．
（3）結合第二問的分析，考慮到帶電粒子從O到P運動中可完成的周期的重復性，列式求解即可．

解答：解：（1）粒子在磁場中作勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
      Bqv=m

v2

R

 解得軌道半徑：R=

mv

Bq

 周期為  T_運=

2πR

v

=

2πm

qB

（2）由粒子經過O點與P點的速度方向以及B方向可判斷．

由O至P運動的過程可能在磁場變化的半個周期內完成．
當磁場方向改變時，粒子繞行方向也變化，由于磁場方向變化的周期性，因此粒子繞行方向也具有周期性．由此可知，由O至P運動過程，也可能在磁場變化半周期奇數倍時完成．
（3）如答圖所示：O→P運動過程，可能恰轉過一個

1

6

圓周完成，若磁場變化半周期．
則有 

T

2

≥

T總

6

          
解得 T≥

1

3

T_運
即T≥

2πm

3qB

可能僅運動一個

1

6

圓周就達P點，此時OP=R=

2

a=

mv

qB

  B=

mv

q 2 a

=

2 mv

qa

    ①
∴T≥

2πm

3qB

=

2 2 πa

3v

    ②
若粒子運動在磁場變化的半周期的奇數倍時間內完成，則（2k-1）

T

2

=（2k-1）

T總

6

 （k=1，2，3…）
  T=

1

3

T_總=

2πm

3qB

          ③
由答圖一，此時

.

OP

=（2k-1）R
∴

2

a=（2k-1）

mv

Bq

B=（2k-1）

2 mv

2aq

 （k=1，2，3，…）  ④
④代入③得：T=

3 πa

3(2k-1)v

 （k=1，2，3，…）     ⑤
①④結合得：B=（2k-1）

2 mv

2aq

②⑤結合得：T

＞ 2 2 πa 3v = 2 2 πa 3(2k-1)v (k=1，2，3，4…)

　　
答：（1）粒子在磁場中運動時的軌道半徑R為

mv

Bq

，周期T的表達式為 T_運=

2πm

qB

．
（2）由O至P運動過程，也可能在磁場變化半周期奇數倍時完成．
（3）若B為未知量，那么所加磁場的變化周期T、磁感強度B₀的大小各應滿足T

＞ 2 2 πa 3v = 2 2 πa 3(2k-1)v (k=1，2，3，4…)

　的條件，才能使粒子完成上述運動．

點評：該題考察了帶電粒子在方向隨時間作周期性變化的磁場中運動的問題，此題不但要求學生要熟練的應用帶電粒子在勻強磁場中做圓周運動的軌道半徑公式和周期公式，還要求要有較強的對物體運動的分析能力，該題關鍵是找出磁場變化的周期和粒子圓周運動的周期的關系．正確的繪制出粒子的軌跡圖，對解決問題有非常大的幫助．