Question

如圖所示，水平放置長為L的平行金屬板A和B的距離為d，它們的右端安放著垂直于金屬板的靶MN，現在A、B板上加上如圖所示的方波電壓，電壓的正向值為U，反向電壓值為U/2，且每隔T/2換向一次，現有質量為m、帶正電且電量為q的粒子束從A、B的中點O沿平行于金屬板OO'方向源源不斷的射入，設粒子能全部打在靶上而且所有粒子在A、B間的飛行時間均為T．不計重力的影響，則：

（1）在靶MN上距其中心0′點有粒子擊中的范圍是多少？
（2）要使粒子能全部打在靶MN上，電壓U的數值應滿足的條件是什么？
（3）粒子能全部打在靶MN上，所有粒子中最大的動能是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）帶電粒子在水平方向做勻速直線運動，豎直方向在電場力的作用下做勻變速運動．當粒子在0，T，2T，…nT時刻進入電場中時，粒子將打在O′點下方最遠點，粒子在豎直方向先向下做勻加速運動，后做勻減速運動．根據牛頓第二定律求出加速度，由位移公式分別求出前時間內和后時間內，粒子在豎直方向的位移，再粒子打在距O′點正下方的最大位移．當粒子在，，…（2n+1）時刻進入電場時，將打在O′點上方最遠點．粒子在豎直方向先向上做勻加速運動，后做勻減速運動．同理求出粒子打在距O′點正上方的最大位移．
（2）要使粒子能全部打在靶上，粒子在豎直方向距O′點的最大位移小于．代入（1）問的結論，求解電壓U的數值應滿足的條件．
（3）帶電粒子在水平方向做勻速直線運動，由運動時間為T，求出粒子的初速度．根據動量定理研究豎直方向的分速度，再所有粒子中最大的動能．
解答：解：帶電粒子在水平方向做勻速直線運動，豎直方向在電場力的作用下做勻變速運動．粒子打在靶MN上的范圍，就是粒子在豎直方向所能到達的范圍．
（1）當粒子在0，T，2T，…nT時刻進入電場中時，粒子將打在O′點下方最遠點，在前時間內，粒子在豎直向下的位移為：
在后時間內，粒子在豎直向下的位移為：
將v=，代入上式得：
故粒子打在距O′點正下方的最大位移為：
當粒子在，，…（2n+1）時刻進入電場時，將打在O′點上方最遠點．
在前時間內，粒子在豎直向上的位移為：
   
在后T/2時間內，粒子在豎直向上的位移為：
   
其中，，，代入上式得：s₂′=0，
故粒子打在距O′點正上方的最大位移為：．
（2）要使粒子能全部打在靶上，須有：，即．
（3）因為粒子在平行于極板方向做勻速直線運動，所以平行于極板的速度：
設垂直于極板的速度度為v_y，則據動量定理有：．
則打在靶上粒子的速度為
所以粒子能全部打在靶MN上，所有粒子中最大的動能是E_k==
答：（1）粒子打在距O′點正上方的最大位移為；
    （2）要使粒子能全部打在靶MN上，電壓U的數值應滿足的條件是即；
    （3）粒子能全部打在靶MN上，所有粒子中最大的動能是．
點評：本題是粒子在周期性變化的電場中運動，分析帶電粒子的運動情況是關鍵．