Question

（2013?揚(yáng)州模擬）在豎直平面內(nèi)建立一平面直角坐標(biāo)系xoy，x軸沿水平方向，如圖甲所示．第二象限內(nèi)有一水平向右的勻強(qiáng)電場，第一象限內(nèi)有豎直向上的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)E2=

mg

q

，該區(qū)域同時(shí)存在按如圖乙所示規(guī)律變化的磁場，磁場方向垂直紙面（以垂直紙面向外的磁場方向?yàn)檎�方向）．某種發(fā)射裝置（圖中沒有畫出）豎直向上發(fā)射出一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子（可視為質(zhì)點(diǎn)），該粒子以v₀的速度從-x上的A點(diǎn)進(jìn)入第二象限，并從+y上的C點(diǎn)沿水平方向進(jìn)入第一象限．已知OA=OC=L，CD=

3

L．
（1）試證明粒子在C點(diǎn)的速度大小也為v₀；
（2）若在t=

T0

4

時(shí)刻粒子由C點(diǎn)進(jìn)入第一象限，且恰能通過同一水平線上的D點(diǎn)，速度方向仍然水平，求由C到達(dá)D的時(shí)間（時(shí)間用T₀表示）；
（3）若調(diào)整磁場變化周期，讓粒子在t=0時(shí)刻由C點(diǎn)進(jìn)入第一象限，且恰能通過E點(diǎn)，求交變磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）將粒子在第二象限內(nèi)的運(yùn)動(dòng)分解為水平方向和豎直方向，在水平方向上受電場力做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上受重力做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，在C點(diǎn)豎直分速度為零，結(jié)合水平位移和豎直位移，抓住等時(shí)性，求出C點(diǎn)的速度大小．
（2）作出粒子在復(fù)合場中運(yùn)動(dòng)的示意圖，結(jié)合粒子運(yùn)動(dòng)的周期性，抓住到達(dá)D點(diǎn)的速度方向水平，求出C到D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（3）作出粒子恰好通過E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)示意圖，結(jié)合帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑公式，結(jié)合周期性求出B₀應(yīng)滿足的條件．

解答：解：（1）豎直方向L=

v0+0

2

t，
水平方向L=

0+vC

2

t
電場強(qiáng)度v_C=v₀；
（2）因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">E2=

mg

q

，所以帶電的粒子在第一象限將做速度也為v₀勻速圓周運(yùn)動(dòng)，使粒子從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到同一水平線D點(diǎn)，如右圖所示，
則有：t=T₀，2T₀，3T₀，…
由于CD=

3

L，OC=L，即t≠T₀，
因此，由C到達(dá)D的時(shí)間t=2T₀，3T₀，…或t=nT₀，n=2，3.4…
（3）設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)圓軌道半徑為R，則qv0B0=m

v02

R

使粒子從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，如右圖所示，2L=n?R，n=1，2，3.4…
交變磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀應(yīng)滿足的關(guān)系B0=

nmv0

2qL

，n=1，2，3.4…
答：（1）證明如上所示．
（2）由C到達(dá)D的時(shí)間t=nT₀，n=2，3.4…
（3）交變磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀應(yīng)滿足的條件B0=

nmv0

2qL

，n=1，2，3.4…．

點(diǎn)評(píng)：本題中質(zhì)點(diǎn)在復(fù)合場運(yùn)動(dòng)，分析受力情況，確定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況是解題的基礎(chǔ)．結(jié)合粒子運(yùn)動(dòng)的周期性，運(yùn)用數(shù)學(xué)幾何知識(shí)綜合求解．