Question

如圖所示，寬度為L的平行光滑的金屬軌道，左端為半徑為r₁的四分之一圓弧軌道，右端為半徑為r₂的半圓軌道，中部為與它們相切的水平軌道．水平軌道所在的區域有磁感應強度為B的豎直向上的勻強磁場．一根質量為m的金屬桿a置于水平軌道上，另一根質量為M的金屬桿b由靜止開始自左端軌道最高點滑下，當b滑入水平軌道某位置時，a就滑上了右端半圓軌道最高點（b始終運動且a、b未相撞），并且a在最高點對軌道的壓力大小為mg，此過程中通過a的電荷量為q，a、b棒的電阻分別為R₁、R₂，其余部分電阻不計．在b由靜止釋放到a運動到右端半圓軌道最高點過程中，求：
（1）在水平軌道上運動時b的最大加速度是多大？
（2）自b釋放到a到達右端半圓軌道最高點過程中系統產生的焦耳熱是多少？
（3）a剛到達右端半圓軌道最低點時b的速度是多大？

Answer 1

分析：（1）b棒從左側軌道下滑的過程中，只有重力做功，其機械能守恒，求出b進入剛進入水平軌道時的速度大小．進入水平軌道后b棒切割磁感線產生感應電流，a棒由于受到安培力作用向右運動，回路中產生的感應電動勢將要減小，感應電流也減小，則知b棒的加速度減小，則b棒剛進入磁場時加速度最大，由牛頓第二定律和安培力公式結合求解．
（2）此過程中通過a的電荷量為q，根據動量定理求出b棒后來的速度．對a棒：由牛頓運動定律求出通過最高點時的速度，由機械能守恒定律求出離開磁場時的速度．由能量守恒定律即可求解系統產生的焦耳熱．
（3）當兩棒都在水平軌道上運動時，兩棒組成的系統合外力為零，動量守恒，可求出a剛到達右端半圓軌道最低點時b的速度．

解答：解：（1）b棒從左側軌道下滑的過程，由機械能守恒定律：

1

2

M

v

2 b1

=Mgr1
∴vb1=

2gr1

b剛滑到水平軌道時加速度最大，
由E=BLv_b1，I=

E

R1+R2

，F_安=BIL=Ma得
∴a=

B2L2 2gr1

M(R1+R2)

（2）根據動量定理得-BILt=Mv_b2-Mv_b1           
又It=q，即-BLq=Mv_b2-Mv_b1
∴vb2=

2gr1

-

BLq

M

對a棒，在根據牛頓第三定律得：N=N′=mg
在軌道最高點：mg+N=m

v 2 a1

r2

∴va1=

2gr2

根據能量守恒定律得：
Mgr1=

1

2

M

v

2 b2

+

1

2

m

v

2 a1

+mg2r2+Q
得Q=

2gr1

BLq-3mgr2-

B2L2q2

2M

（3）∵2mgr2=

1

2

m

v

2 a2

-

1

2

m

v

2 a1

∴va2=

6gr2

當兩棒都在水平軌道上運動時，兩棒組成的系統合外力為零，動量守恒，則有
  Mv_b1=Mv_b3+mv_a2
∴vb3=

2gr1

-

m

M

6gr2

答：
（1）在水平軌道上運動時b的最大加速度是

B2L2 2gr1

M(R1+R2)

．
（2）自b釋放到a到達右端半圓軌道最高點過程中系統產生的焦耳熱是

2gr1

BLq-3mgr₂-

B2L2q2

2M

．
（3）a剛到達右端半圓軌道最低點時b的速度是

2gr1

-

m

M

6gr2

．

點評：本題是“雙桿”類型，兩棒都在水平軌道上運動的過程類似于碰撞，基本規律是動量守恒和能量守恒，本題綜合性較強．