Question

我國探月工程計劃在2015年以前通過無人駕駛的軌道飛行器，在月球上進行采樣工作，以此方式執行最初的登月計劃，并最終實現中國人登上月球．假設2017年7月7日，我國宇航員乘“嫦娥五號”飛船到月球上考察．宇航員完成了對月球表面的科學考察任務后，乘坐返回艙返回圍繞月球做圓周運動的軌道艙，如圖所示，為了安全，返回艙與軌道艙對接時，必須具有相同的速度．已知返回艙與人的總質量為m，月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g₀，軌道艙到月球中心的距離為r，不計月球自轉的影響．

  (1)返回艙至少需要多大速度才能繞月飛行，不再落回月面?

  (2)衛星繞月過程中具有的機械能由引力勢能和動能組成．已知當它們相距無窮遠時引力勢能為零，它們距離為r時，引力勢能為E_P=-GMm/r．則該宇航員乘坐的返回艙至少需要獲得多少能量才能返回軌道艙?

Answer 1

（1）V=（2）　E = E_K+W = GMm/R—GMm/2r 或  E=mg₀R(1—R/2r) 

解析:

(1)月球對返回艙的引力F應是其運動所受的向心力。

        GMm／R₂=mV²/R ①

在月球表面上，返回艙和人所受到的萬有引力近似等于物體的重力，則．   

GMm／R² = mg_o．②

    可得V=

    (2)設軌道艙的質量為m_o，速度大小為V，則   

    ．    GMm₀/r²=m₀v²/ r

    解得宇航員乘坐返回艙與軌道艙進行對接時，具有的動能為：  

        E_K= 1/2 mV²=GMm/2r

       因此返回艙返回過程中克服引力做的功為   

    　　W=一GMm／r一(一GMm／R)=GMm／R—GMm/r

    由能量守恒可知返回艙返回時至少需要能量

   　　　E = E_K+W = GMm/R—GMm/2r

    或    E=mg₀R(1—R/2r)