Question

過山車是游樂場中常見的設施。圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內的三個圓形軌道組成，B、C、D分別是三個圓形軌道的最低點，B、C間距與C、D間距相等，半徑＝2.0 m、＝1.4 m。一個質量為m＝1. 0 kg的小球（視為質點），從軌道的左側A點以＝12.0m/s的初速度沿軌道向右運動，A、B間距=6. 0 m。小球與水平軌道間的動摩擦因數=0. 2，圓形軌道是光滑的。假設水平軌道足夠長，圓形軌道間不相互重疊。重力加速度取，計算結果保留小數點后一位數字。試求

（1）小球在經過第一個圓形軌道的最高點時，軌道對小球作用力的大小；

（2）如果小球恰能通過第二個圓形軌道，B、C間距L應是多少；

（3）在滿足（2）的條件下，如果要使小球不脫離軌道，在第三個圓形軌道的設計中，半徑應滿足的條件；小球最終停留點與起點A的距離。

Answer 1

F=10.0 N    L=12.5 m    26.0 m。

解析:

（1）設小球經過第一個圓軌道的最高點時的速度為，根據動能定理

  ①

小球在最高點受到重力和軌道對它的作用力F，根據牛頓第二定律

  ②

由①②得F=10.0 N   ③

（2）設小球在第二個圓軌道最高點的速度為，由題意

  ④

   ⑤

由④⑤得L=12.5 m    ⑥

（3）要保證小球不脫離軌道，可分兩種臨界情況進行討論：

I．軌道半徑較小時，小球恰能通過第三個圓軌道，設在最高點的速度為，應滿足

   ⑦

   ⑧

由⑥⑦⑧得=0.4 m

Ⅱ．軌道半徑較大時，小球上升的最大高度為，根據動能定理

解得=1.0 m

為了保證圓軌道不重疊。最大值應滿足

解得=27.9 m

綜合I、Ⅱ，要使小球不脫離軌道，則第三個圓軌道的半徑須滿足下面的條件

或

當1時，小球最終停留點與起點A的距離為，則

36. 0 m

當時，小球最終停留點與起點A的距離為，則

26.0 m。