Question

18．地球赤道上的重力加速度為g，物體在赤道上隨地球自轉的向心加速度為a，衛星甲、乙、丙在如圖所示的三個橢圓軌道上繞地球運行，衛星甲和乙的運行軌道在P點相切．以下說法正確的是（　　）

• A． 如果地球的自轉角度突然變為原來的$\sqrt{\frac{g+a}{a}}$倍，那么赤道上的物體將會“飄”起來
• B． 衛星甲、乙分別經過P點時的速度相等
• C． 衛星丙的周期最小
• D． 三個衛星在遠地點的速度一定小于第一宇宙速度

Answer 1

分析 根據發射速度大小，分析衛星發射的難易程度，發射速度越大，發射越困難．機械能跟衛星的速度、高度和質量有關，質量未知時，是無法比較衛星的機械能大小的．根據開普勒第三定律知，橢圓半長軸越大，衛星的周期越大．由牛頓第二定律研究加速度．

解答 解：A、使地球上的物體票“飄”起來即物體處于完全失重狀態，即此時物體所受地球的重力完全提供物體隨地球自轉時的向心力則有：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}-mg=ma$=$m{ω}_{\;}^{2}R$
當物體飄起來的時候，萬有引力完全提供向心力，則此時物體的向心加速度為$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m（g+a）$=$mω{′}_{\;}^{2}R$
即此時的向心加速度a′=g+a
根據向心加速度和轉速的關系有：a=Rω²，a′=R${ω}_{\;}^{′}$²可得：$ω′=\sqrt{\frac{g+a}{a}}$ω，故A正確．
B、物體在橢圓形軌道上運動，軌道高度越高，在近地點時的速度越大，故B錯誤；
C、根據開普勒第三定律知，橢圓半長軸越小，衛星的周期越小，衛星丙的半長軸最短，故周期最小．故C正確；
D、根據萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，軌道半徑越小，速度越大，當軌道半徑最小等于地球半徑時，速度等于第一宇宙速度．
假設一位衛星繞經過遠地點的圓軌道做圓周運動，則此衛星的速度一定小于第一宇宙速度，衛星從該軌道進入橢圓軌道，要做減速運動，速度要變小，故三個衛星的速度均小于第一宇宙速度，故D正確；
故選：ACD

點評 衛星繞地球運動，軌道高度越大，發射速度越大，發射越困難，衛星在近地點的速度越大．在隨圓軌道上運動的衛星，萬有引力和衛星運動所需要向心力不是始終相等的，故在橢圓軌道上運動的衛星不是始終處于完全失重狀態．