Question

物體甲從離地面高度h處自由下落，同時在它正下方的地面上有一物體乙以初速度v₀豎直向上拋．重力加速度為g，不計空氣阻力，兩物體均看作質點．
（1）要使兩物體在空中相碰，乙的初速度v₀應滿足什么條件？
（2）要使乙在下落過程中與甲相碰，v₀應滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）根據位移時間公式分別求出甲和乙的位移大小，兩物體在空中相碰，知兩物體的位移之和等于h，再結合相遇的時間小于乙落地的時間，求出乙的初速度v₀應滿足的條件．
（2）要使乙在下落過程中與甲相碰，則運行的時間大于乙上升的時間小于乙上升和下落的總時間．根據時間的關系，求出速度的范圍．

解答：解：（1）設經過時間t甲乙在空中相碰，甲做自由落體運動的位移
   h1=

1

2

gt2     ①
乙做豎直上拋運動的位移    h2=v0t-

1

2

gt2       ②
由幾何關系  h=h₁+h₂                          ③
聯立①②③解得   t=

h

v0

  ④
設乙拋出后經過時間t_max落地，根據速度-時間關系有 tmax=

2v0

g

    ⑤
甲乙在空中相遇應滿足  0＜t＜t_max     ⑥
聯立④⑤⑥解得  v₀≥

gh 2

故乙的初速度v₀應滿足 v₀≥

gh 2

．
（2）在乙下落過程中，甲乙相遇應滿足  

v0

g

＜t＜

2v0

g

 ⑦
聯立④⑦解得  

gh 2

＜v₀＜

gh

故要使乙在下落過程中與甲相碰，v₀應滿足 

gh 2

＜v₀＜

gh

．

點評：解決本題的關鍵知道兩物體在空中相碰，兩物體的位移之和等于h，結合物體運動時間的范圍，求出初始度的范圍．