Question

12．隨著空間技術的發展，人類對月球的探索正在不斷深入，假設在不遠的將來人們將月球上的礦藏開采運回地球，月球的質量逐步減少（只考慮月球和地球質量的變化帶來的影響，不考慮其他）若干年后，下列說法正確的是（　　）

• A． 月球環繞地球的周期變小
• B． 月球環繞地球的向心加速度變小
• C． 月球環繞地球的線速度變大
• D． 地球受到月球的引力減小

Answer 1

分析 根據萬有引力定律，表示出地球與月球間萬有引力，根據地球和月球質量的變化求出地球與月球間萬有引力的變化．
研究月球繞地球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式表示出周期，再根據已知量找出周期的變化．

解答 解：A、設月球質量為m，地球質量為M，月球與地球之間的距離為r，開始時月球做勻速圓周運動，受到的向心力等于萬有引力，即：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$①
設第一次車月球采回m₀的礦石時，月球的線速度還沒有來得及變化，半徑也沒有變化，二者之間的萬有引力：$F′=\frac{G（M+{m}_{0}）（m-{m}_{0}）}{{r}^{2}}$ ②
此時月球做勻速圓周運動需要的向心力：${F}_{n}′=（m-{m}_{0}）•\frac{{v}^{2}}{r}$ ③
聯立①③得：${F}_{n}′=G\frac{M（m-{m}_{0}）}{{r}^{2}}＜F′=\frac{G（M+{m}_{0}）（m-{m}_{0}）}{{r}^{2}}$  ④
可知此時月球u哦圓周運動需要的向心力小于提供的向心力，所以月球開始做向心運動．
假定一定的時間后，地球仍可看作是均勻的球體，月球仍做勻速圓周運動，則月球做圓周運動的軌道半徑r減小，地球的質量增大，
根據萬有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得：T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
隨著地球質量的逐步增加，軌道半徑r減小，將使月球繞地球運動周期將變短．故A正確；
B、向心加速度：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，由于地球的質量增大，軌道半徑r減小，所以月球環繞地球的向心加速度變大．故B錯誤；
C、月球環繞地球的向心加速度變大則月球將做向心運動，軌道半徑減小，根據萬有引力提供向心力得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，可知月球環繞地球的線速度變大．故C正確；
D、根據萬有引力定律得地球與月球間的萬有引力為：F=$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$，
由于不斷把月球上的礦藏搬運到地球上，所以m減小，M增大．
由數學知識可知，當m與M相接近時，它們之間的萬有引力較大，當它們的質量之差逐漸增大時，m與M的乘積將減小，它們之間的萬有引力值將減小，故D正確．
故選：ACD

點評 該題中，質量M與m的乘積減小，二者之間的向心力減小．但是不能僅僅從向心力減小來說明月球做離心運動，要考慮到向心力減小的同時月球的質量也減小，所以要車向心加速度的角度來考慮月球是做向心運動還是離心運動．