Question

在如圖（a）所示的正方形平面oabc內存在著垂直于該平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B，已知正方形邊長為L．一個質量為m、帶電量為+q的粒子（不計重力）在t=0時刻平行于oc邊從o點射入磁場中．
（1）若帶電粒子從a點射出磁場，求帶電粒子在磁場中運動的時間及初速度大小；
（2）若磁場的磁感應強度按如圖（b）所示的規律變化，規定磁場向外的方向為正方向，磁感應強度的大小為B₀，假使帶電粒子能從oa邊界射出磁場，求磁感應強度B變化周期T的最小值；
（3）若所加磁場與第（2）問中的相同，要使帶電粒子從b點沿著ab方向射出磁場，求滿足這一條件的磁感應強度變化的周期T及粒子射入磁場時的速度v₀．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在勻強磁場中由洛侖茲力提供向心力，做勻速圓周運動，從a點射出磁場時，運動半周，由牛頓定律和幾何關系求解．
（2）由牛頓定律和圓周運動公式求出粒子圓周運動的周期．根據軌跡分析在磁場變化的半個周期內，粒子圓周運動偏轉角度，確定磁場變化的周期與粒子圓周運動周期的關系，磁感應強度變化的周期T．根據對稱性，粒子在磁場變化的一個周期內到達b點，其圓周運動的半徑最大，速度最大．由幾何知識求出最大的半徑，再牛頓定律求出最大的速度．
（3）畫出帶電粒子恰好能從oa邊界射出磁場時的軌跡，分析在磁場變化的半個周期內，根據幾何知識確定粒子圓周運動偏轉角度，研究磁場變化的周期與粒子圓周運動周期的關系求解．

解答：解：（1）若帶電粒子從a點射出磁場，則做圓周運動的半徑為r=

L

2

所需時間t=

T

2

=

πm

qB

又根據m

v02

r

=Bqv0
得v0=

BqL

2m

（2）要使粒子從oa邊射出，其臨界狀態軌跡如圖（1）所示
則有sinα=

1

2

α=30°
在磁場變化的半個周期內，粒子在磁場中旋轉150°角，運動時間t=

5

12

T0=

5πm

6qB0

而t=

T

2

所以磁場變化的最小周期為T=

5πm

3qB0

（3）若使粒子從b點沿著ab方向射出磁場，軌跡如圖（2）．
在磁場變化的半個周期內，粒子在磁場中旋轉的角度為2β，其中β=45°，
即

T

2

=

T0

4

所以磁場變化的周期為T=

πm

qB0

每一個圓弧對應的弦長OM為s=

2

n

L(n=2，4，6…)
圓弧半徑r=

s

2

=

L

n

（n=2，4，6…）
由m

v02

r

=Bqv0，得v0=

BqL

nm

（n=2，4，6…）
（1）帶電粒子在磁場中運動的時間為

πm

qB

及初速度大小為

BqL

2m

；
（2）磁感應強度B變化周期T的最小值為

5πm

3qB0

；
（3）滿足這一條件的磁感應強度變化的周期T為

πm

qB0

，粒子射入磁場時的速度v₀為

BqL

nm

（n=2，4，6…）．

點評：本題解題的關鍵在于畫出粒子運動軌跡，分析粒子圓周運動周期與磁場變化周期的關系．粒子圓周運動的時間往往根據軌跡的圓心角與周期的關系確定，t=

θ

2π

T，θ為圓心角．