Question

如圖1所示，真空中存在電場(chǎng)強(qiáng)度E=1.5×10³V/m、方向豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)．在電場(chǎng)中固定有豎直面內(nèi)的光滑絕緣軌道ABC，其中AB段水平，BC段是半徑R=0.5m的半圓，直徑BC豎直．有兩個(gè)大小相同的金屬小球1和2（均可視為質(zhì)點(diǎn)），小球2的質(zhì)量m₂=3×10^-2kg、電量q=+2×10^-4C，靜止于B點(diǎn)；小球1的質(zhì)量m₁=2×10^-2kg、不帶電，在軌道上以初速度v₀=

5

2

5

m/s向右運(yùn)動(dòng)，與小球2發(fā)生彈性正碰，碰撞時(shí)間極短，取g=10m/s²，求：
（1）碰撞后瞬間小球2的速度v₂的大小
（2）小球2經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)它的壓力F_N的大小以及它第一次落到軌道AB上的位置距B點(diǎn)的距離x
（3）若只改變場(chǎng)強(qiáng)E的大小，為了保證小球2能沿軌道運(yùn)動(dòng)并通過(guò)C點(diǎn)，試確定場(chǎng)強(qiáng)E的取值范圍；并在圖2的坐標(biāo)系中，畫(huà)出小球2由B點(diǎn)沿軌道運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)的過(guò)程中，其電勢(shì)能變化量△E_P與場(chǎng)強(qiáng)E的關(guān)系圖象（畫(huà)圖時(shí)不必說(shuō)明理由）

Answer 1

（1）設(shè)兩小球碰撞后的速度速度分別為v₁、v₂，則
m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂
彈性碰撞，無(wú)機(jī)械能損失，故：

1

2

m1

v

20

=

1

2

m1

v

21

+

1

2

m2

v

22

解得：
v2=

2m1v0

m1+m2

=

2×2×10-2× 5 2 5

2×10-2+3×10-2

=2

5

m/s
（2）設(shè)小球2經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)速度為v₂′，由動(dòng)能定理，有：
（

q

2

E-m2g)?2R=

1

2

m2

v′

22

-

1

2

m2

v

22

?2R=

1

2

m2

v′

22

-

1

2

m2

v

22

解得：
v2′=

10

m/s
又FN+m2g-

q

2

E=m2

v ′ 22

R

得：
FN=m2

v ′ 22

R

-m2g+

q

2

E=m2

v 22

R

-5m2g+

5

2

qE
代入數(shù)據(jù)得：
F_N=0.45N
小球2離開(kāi)C點(diǎn)后做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，加速度：
a=

m2g- 1 2 qE

m2

=

1

2

g=5m/s²
2R=

1

2

at2
解得：
t=

4R a

所以x=v′2t=

10

×

4×0.5 5

=2m
（3）在上述（2）中，令F_N≥0，即有
m2

v 22

R

-5m2g+

5

2

qE≥0
E≥

2m2(g- v 22 5R )

q

=

2×3×10-2×(10- 20 5×0.5 )

2×10-4

=600V/m
又由題設(shè)有：qE≤m₂g
E≤

m2g

q

=

3×10-2×10

2×10-4

=1.5×103V/m
故滿(mǎn)足題目要求的場(chǎng)強(qiáng)E大小的取值范圍是：
0.6×10³≤E≤1.5×10³V/m
電勢(shì)能變化量△E與場(chǎng)強(qiáng)E的關(guān)系圖象如圖：
答：（1）碰撞后瞬間小球2的速度v₂的大小為2

5

m/s；
（2）小球2經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)它的壓力F_N的大小為0.45N，它第一次落到軌道AB上的位置距B點(diǎn)的距離x為2m；
（3）場(chǎng)強(qiáng)E的取值范圍為：0.6×10³≤E≤1.5×10³V/m；
小球2由B點(diǎn)沿軌道運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)的過(guò)程中，其電勢(shì)能變化量△E_P與場(chǎng)強(qiáng)E的關(guān)系圖象如圖所示．