Question

如圖1-8-3半徑為R的光滑圓形軌道固定在豎直面內(nèi).小球A、B質(zhì)量分別為m、βm(β為待定系數(shù)）.A球從左邊與圓心等高處由靜止開始沿軌道下滑，與靜止于軌道最低點(diǎn)的B球相撞，碰撞后A、B球能達(dá)到的最大高度均為R，碰撞中無機(jī)械能損失.重力加速度為g.試求：

圖1-8-3

(1)待定系數(shù)β;

(2)第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)小球A、B各自的速率和B球?qū)�軌道的壓力�?/p>

(3)小球A、B在軌道最低處第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)各自的速度，并討論小球A、B在軌道最低處第n次碰撞剛結(jié)束時(shí)各自的速度.

Answer 1

解析：(1)碰撞中無機(jī)械能損失，即mgR=+得

β=3

(2)設(shè)A、B碰撞后的速度分別為v₁、v₂,則mv₁²=

βmv₂²=

設(shè)A球碰前速度為v₀，則mgR=mv²₀

設(shè)向右為正、向左為負(fù)，由動(dòng)量守恒得mv₀=mv₁+βmv₂

v₁=,方向向左    v₂=,方向向右

設(shè)軌道對B球的支持力為N，B球?qū)�軌道的壓力為N′,方向豎直向上為正、向下為負(fù)，

則N-βmg=βm

N′=-N=-4.5mg,方向豎直向下

(3)設(shè)A、B球第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)的速度分別為V₁、V₂，則-mv₁-βmv₂=mV₁+βmV₂

mgR=mV₁²+βmV₂²

解得V₁=-,V₂=0

(另一組解：V₁=-v₁,V₂=-v₂不合題意，舍去）

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，小球A、B在第n次碰撞剛結(jié)束時(shí)的速度分別與其第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)相同；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，小球A、B在第n次碰撞剛結(jié)束時(shí)的速度分別與其第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)相同.

答案：(1)β=3

(2)v₁=,方向向左，v₂=，方向向右；-4.5mg,方向豎直向下

(3)V₁=-,V₂=0

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，小球A、B在第n次碰撞剛結(jié)束時(shí)的速度分別與其第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)相同.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，小球A、B在第n次碰撞剛結(jié)束時(shí)的速度分別與其第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)相同.