Question

如圖所示，豎直平面內，直線PQ右側足夠大的區域內存在豎直向上的勻強電場和垂直于紙面向里的勻強磁場，左側到直線距離為d₁=0.4m的A處有一個發射槍．發射槍將質量m=0.01kg，帶電量q=+0.01C的小球以某一初速度v₀水平射出，當豎直位移為d₁/2時，小球進入電磁場區域，隨后恰能做勻速圓周運動，且圓周最低點C（圖中運動的軌跡未畫出）到直線PQ的距離為d₂=0.8m．不計空氣阻力，g取10m/s²．試求：
（1）小球水平射出的初速度v₀和電場強度E；
（2）小球從水平射出至運動到C點的時間t；
（3）若只將PQ右側的電場強度變為原來的一半，小球進入電磁場區域后做曲線運動，軌跡的最低點為C′（圖中未畫出），則求：最低點C′離發射點A的豎直方向距離d及運動過程中的最小速度v．

Answer 1

分析：（1）根據平拋運動的規律，抓住水平位移是豎直位移的2倍，得出到達D點的速度與初速度的關系，球進入電磁場后球做勻速圓周運動，說明小球受到的電場力與重力大小相等，方向相反．寫出公式求得結果．
（2）進入磁場后做圓周運動畫出運動的軌跡如圖，由幾何關系可得小球做勻速圓周運動的半徑，根據洛倫茲力提供向心力，求得磁感應強度．
（3）電場強度減半后，小球進入磁場時，有：mg=E′q+Bqv₀ 小球在電磁場中的運動可視為水平方向的勻速直線運動和豎直面內的勻速圓周運動．寫出相應的方程，即可求解．

解答：解：（1）由平拋運動知識，有：d₁=v₀t₁

1

2

d₁=

1

2

gt₁²
解得：t₁=0.2s；v₀=2m/s
小球在電磁場區域恰能做圓周運動，故 Eq=mg
代入數據可得：E=10V/m
（2）小球進磁場時：v_y=gt₁=v₀
故v₁=

2

v₀
進入磁場后做圓周運動如圖，由幾何關系可得小球做勻速圓周運動的半徑 r=

2

d₂
又 qv1B=

m v 2 1

r

代入數據可得 B=2.5T
所以T=

2πm

qB

=0.8πs
小球到達C點時完成了

1

8

個圓周運動：t₂=

1

8

T=0.1πs
小球從水平射出至運動到C點的時間 t=t₁+t₂=0.2+0.1π=0.51s；
（3）電場強度減半后，小球進入磁場時，有：mg=E′q+Bqv₀ 小球在電磁場中的運動可視為水平方向的勻速直線運動和豎直面內的勻速圓周運動
有qvyB=

m v 2 y

r′

有 r?=

mvy

qB

=0.8m
所以：d=r?+

1

2

d₁=1m
小球在最高點時速度最小，有：Eqr′-mgr′=

1

2

mv²-

1

2

m（

2

v）²
解得：v=0．
答：（1）小球水平射出的初速度為2m/s和電場強度E=10V/m；
（2）小球從水平射出至運動到C點的時間為0.51s；
（3）最低點C′離發射點A的豎直方向距離d為1m，運動過程中的最小速度為0．

點評：解決本題的關鍵理清小球在整個過程中的運動規律，畫出運動的軌跡圖，結合運動學公式、牛頓第二定律進行求解．